Sr Examen

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e^x/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ e^x/(x-1)

Gráfico de la función y = e^x/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x 
         E  
f(x) = -----
       x - 1
f(x)=exx−1f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x - 1} 
f = E^x/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx−1=0\frac{e^{x}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x/(x - 1).
e0−1\frac{e^{0}}{-1}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exx−1−ex(x−1)2=0\frac{e^{x}}{x - 1} - \frac{e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
     2 
(2, e )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−2x−1+2(x−1)2)exx−1=0\frac{\left(1 - \frac{2}{x - 1} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) e^{x}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exx(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx−1=e−x−x−1\frac{e^{x}}{x - 1} = \frac{e^{- x}}{- x - 1}
- No
exx−1=−e−x−x−1\frac{e^{x}}{x - 1} = - \frac{e^{- x}}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^x/(x-1)
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