Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- (4sin(2x))/(uno -2cos(2x))
- (4 seno de (2x)) dividir por (1 menos 2 coseno de (2x))
- (4 seno de (2x)) dividir por (uno menos 2 coseno de (2x))
- 4sin2x/1-2cos2x
- (4sin(2x)) dividir por (1-2cos(2x))
-
Expresiones semejantes
- (4sin(2x))/(1+2cos(2x))
Gráfico de la función y = (4sin(2x))/(1-2cos(2x))
Solución
Ha introducido
[src]
4*sin(2*x)
f(x) = --------------
1 - 2*cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}$$
f = (4*sin(2*x))/(1 - 2*cos(2*x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.523598775598299$$
$$x_{2} = 2.61799387799149$$
$$x_{1} = 0.523598775598299$$
$$x_{2} = 2.61799387799149$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.5353906273091$$
$$x_{2} = -15.707963267949$$
$$x_{3} = -31.4159265358979$$
$$x_{4} = 61.261056745001$$
$$x_{5} = 42.4115008234622$$
$$x_{6} = 21.9911485751286$$
$$x_{7} = 0$$
$$x_{8} = -42.4115008234622$$
$$x_{9} = -29.845130209103$$
$$x_{10} = 17.2787595947439$$
$$x_{11} = -21.9911485751286$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = 28.2743338823081$$
$$x_{14} = 86.3937979737193$$
$$x_{15} = -10.9955742875643$$
$$x_{16} = 72.2566310325652$$
$$x_{17} = -98.9601685880785$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -61.261056745001$$
$$x_{20} = 87.9645943005142$$
$$x_{21} = -95.8185759344887$$
$$x_{22} = -50.2654824574367$$
$$x_{23} = 23.5619449019235$$
$$x_{24} = -43.9822971502571$$
$$x_{25} = -97.3893722612836$$
$$x_{26} = 50.2654824574367$$
$$x_{27} = -14.1371669411541$$
$$x_{28} = 59.6902604182061$$
$$x_{29} = 58.1194640914112$$
$$x_{30} = 10.9955742875643$$
$$x_{31} = -53.4070751110265$$
$$x_{32} = -92.6769832808989$$
$$x_{33} = -48.6946861306418$$
$$x_{34} = -23.5619449019235$$
$$x_{35} = -86.3937979737193$$
$$x_{36} = -17.2787595947439$$
$$x_{37} = 12.5663706143592$$
$$x_{38} = -81.6814089933346$$
$$x_{39} = -26.7035375555132$$
$$x_{40} = 94.2477796076938$$
$$x_{41} = 81.6814089933346$$
$$x_{42} = -67.5442420521806$$
$$x_{43} = -80.1106126665397$$
$$x_{44} = -1.5707963267949$$
$$x_{45} = 92.6769832808989$$
$$x_{46} = 36.1283155162826$$
$$x_{47} = -39.2699081698724$$
$$x_{48} = -28.2743338823081$$
$$x_{49} = 4.71238898038469$$
$$x_{50} = -76.9690200129499$$
$$x_{51} = 48.6946861306418$$
$$x_{52} = 76.9690200129499$$
$$x_{53} = 98.9601685880785$$
$$x_{54} = -72.2566310325652$$
$$x_{55} = 37.6991118430775$$
$$x_{56} = 83.2522053201295$$
$$x_{57} = 70.6858347057703$$
$$x_{58} = -45.553093477052$$
$$x_{59} = -89.5353906273091$$
$$x_{60} = 65.9734457253857$$
$$x_{61} = -70.6858347057703$$
$$x_{62} = 73.8274273593601$$
$$x_{63} = 20.4203522483337$$
$$x_{64} = -87.9645943005142$$
$$x_{65} = 1.5707963267949$$
$$x_{66} = 45.553093477052$$
$$x_{67} = 78.5398163397448$$
$$x_{68} = -6.28318530717959$$
$$x_{69} = 95.8185759344887$$
$$x_{70} = 15.707963267949$$
$$x_{71} = -20.4203522483337$$
$$x_{72} = -58.1194640914112$$
$$x_{73} = 56.5486677646163$$
$$x_{74} = 80.1106126665397$$
$$x_{75} = 7.85398163397448$$
$$x_{76} = 26.7035375555132$$
$$x_{77} = 29.845130209103$$
$$x_{78} = -65.9734457253857$$
$$x_{79} = -54.9778714378214$$
$$x_{80} = 43.9822971502571$$
$$x_{81} = 14.1371669411541$$
$$x_{82} = -37.6991118430775$$
$$x_{83} = -59.6902604182061$$
$$x_{84} = 39.2699081698724$$
$$x_{85} = -64.4026493985908$$
$$x_{86} = -83.2522053201295$$
$$x_{87} = -4.71238898038469$$
$$x_{88} = -75.398223686155$$
$$x_{89} = 51.8362787842316$$
$$x_{90} = 100.530964914873$$
$$x_{91} = 64.4026493985908$$
$$x_{92} = 34.5575191894877$$
$$x_{93} = -73.8274273593601$$
$$x_{94} = 32.9867228626928$$
$$x_{95} = 6.28318530717959$$
$$x_{96} = -32.9867228626928$$
$$x_{97} = -9.42477796076938$$
$$x_{98} = -51.8362787842316$$
$$x_{99} = 67.5442420521806$$
$$x_{100} = -7.85398163397448$$
$$x_{101} = 54.9778714378214$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.5353906273091$$
$$x_{2} = -15.707963267949$$
$$x_{3} = -31.4159265358979$$
$$x_{4} = 61.261056745001$$
$$x_{5} = 42.4115008234622$$
$$x_{6} = 21.9911485751286$$
$$x_{7} = 0$$
$$x_{8} = -42.4115008234622$$
$$x_{9} = -29.845130209103$$
$$x_{10} = 17.2787595947439$$
$$x_{11} = -21.9911485751286$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = 28.2743338823081$$
$$x_{14} = 86.3937979737193$$
$$x_{15} = -10.9955742875643$$
$$x_{16} = 72.2566310325652$$
$$x_{17} = -98.9601685880785$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -61.261056745001$$
$$x_{20} = 87.9645943005142$$
$$x_{21} = -95.8185759344887$$
$$x_{22} = -50.2654824574367$$
$$x_{23} = 23.5619449019235$$
$$x_{24} = -43.9822971502571$$
$$x_{25} = -97.3893722612836$$
$$x_{26} = 50.2654824574367$$
$$x_{27} = -14.1371669411541$$
$$x_{28} = 59.6902604182061$$
$$x_{29} = 58.1194640914112$$
$$x_{30} = 10.9955742875643$$
$$x_{31} = -53.4070751110265$$
$$x_{32} = -92.6769832808989$$
$$x_{33} = -48.6946861306418$$
$$x_{34} = -23.5619449019235$$
$$x_{35} = -86.3937979737193$$
$$x_{36} = -17.2787595947439$$
$$x_{37} = 12.5663706143592$$
$$x_{38} = -81.6814089933346$$
$$x_{39} = -26.7035375555132$$
$$x_{40} = 94.2477796076938$$
$$x_{41} = 81.6814089933346$$
$$x_{42} = -67.5442420521806$$
$$x_{43} = -80.1106126665397$$
$$x_{44} = -1.5707963267949$$
$$x_{45} = 92.6769832808989$$
$$x_{46} = 36.1283155162826$$
$$x_{47} = -39.2699081698724$$
$$x_{48} = -28.2743338823081$$
$$x_{49} = 4.71238898038469$$
$$x_{50} = -76.9690200129499$$
$$x_{51} = 48.6946861306418$$
$$x_{52} = 76.9690200129499$$
$$x_{53} = 98.9601685880785$$
$$x_{54} = -72.2566310325652$$
$$x_{55} = 37.6991118430775$$
$$x_{56} = 83.2522053201295$$
$$x_{57} = 70.6858347057703$$
$$x_{58} = -45.553093477052$$
$$x_{59} = -89.5353906273091$$
$$x_{60} = 65.9734457253857$$
$$x_{61} = -70.6858347057703$$
$$x_{62} = 73.8274273593601$$
$$x_{63} = 20.4203522483337$$
$$x_{64} = -87.9645943005142$$
$$x_{65} = 1.5707963267949$$
$$x_{66} = 45.553093477052$$
$$x_{67} = 78.5398163397448$$
$$x_{68} = -6.28318530717959$$
$$x_{69} = 95.8185759344887$$
$$x_{70} = 15.707963267949$$
$$x_{71} = -20.4203522483337$$
$$x_{72} = -58.1194640914112$$
$$x_{73} = 56.5486677646163$$
$$x_{74} = 80.1106126665397$$
$$x_{75} = 7.85398163397448$$
$$x_{76} = 26.7035375555132$$
$$x_{77} = 29.845130209103$$
$$x_{78} = -65.9734457253857$$
$$x_{79} = -54.9778714378214$$
$$x_{80} = 43.9822971502571$$
$$x_{81} = 14.1371669411541$$
$$x_{82} = -37.6991118430775$$
$$x_{83} = -59.6902604182061$$
$$x_{84} = 39.2699081698724$$
$$x_{85} = -64.4026493985908$$
$$x_{86} = -83.2522053201295$$
$$x_{87} = -4.71238898038469$$
$$x_{88} = -75.398223686155$$
$$x_{89} = 51.8362787842316$$
$$x_{90} = 100.530964914873$$
$$x_{91} = 64.4026493985908$$
$$x_{92} = 34.5575191894877$$
$$x_{93} = -73.8274273593601$$
$$x_{94} = 32.9867228626928$$
$$x_{95} = 6.28318530717959$$
$$x_{96} = -32.9867228626928$$
$$x_{97} = -9.42477796076938$$
$$x_{98} = -51.8362787842316$$
$$x_{99} = 67.5442420521806$$
$$x_{100} = -7.85398163397448$$
$$x_{101} = 54.9778714378214$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} - \frac{16 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 \cos{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} - \frac{16 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\left(1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.523598775598299$$
$$x_{2} = 2.61799387799149$$
$$\lim_{x \to 0.523598775598299^-}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.523598775598299^+}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2.61799387799149^-}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 2.61799387799149^+}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.523598775598299$$
$$x_{2} = 2.61799387799149$$
$$\lim_{x \to 0.523598775598299^-}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.523598775598299^+}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2.61799387799149^-}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 2.61799387799149^+}\left(\frac{16 \left(- \frac{2 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)} - 1}\right) = 7.59418527360668 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.523598775598299$$
$$x_{2} = 2.61799387799149$$
$$x_{1} = 0.523598775598299$$
$$x_{2} = 2.61799387799149$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*sin(2*x))/(1 - 2*cos(2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{x \left(1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} = - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}$$
- No
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} = \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} = - \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}$$
- No
$$\frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}} = \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - 2 \cos{\left(2 x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar