Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sqrt((71/18)-x)-sqrt(x+125/18))/(x(x+3))

Gráfico de la función y = (sqrt((71/18)-x)-sqrt(x+125/18))/(x(x+3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ________       _________
          / 71           /     125 
         /  -- - x  -   /  x + --- 
       \/   18        \/        18 
f(x) = ----------------------------
                x*(x + 3)
f(x)=7118−x−x+12518x(x+3)f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}}{x \left(x + 3\right)} 
f = (sqrt(71/18 - x) - sqrt(x + 125/18))/((x*(x + 3)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
7118−x−x+12518x(x+3)=0\frac{\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}}{x \left(x + 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=−1.5x_{1} = -1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt(71/18 - x) - sqrt(x + 125/18))/((x*(x + 3))).
−12518+7118−00⋅3\frac{- \sqrt{\frac{125}{18}} + \sqrt{\frac{71}{18} - 0}}{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x+3)(−12x+12518−127118−x)+(−2x−3)(7118−x−x+12518)x2(x+3)2=0\frac{1}{x \left(x + 3\right)} \left(- \frac{1}{2 \sqrt{x + \frac{125}{18}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{71}{18} - x}}\right) + \frac{\left(- 2 x - 3\right) \left(\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}\right)}{x^{2} \left(x + 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32+362292916+9811791729x_{1} = - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}
x2=−362292916+9811791729−32x_{2} = - \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                                          __________________________________         __________________________________ 
                                         /           ______________________         /           ______________________  
                                        /           /              _______         /           /              _______   
            ______________________     /   49      /  36229   98*\/ 11791         /   49      /  36229   98*\/ 11791    
           /              _______     /    -- -   /   ----- + ------------   -   /    -- +   /   ----- + ------------   
   3      /  36229   98*\/ 11791    \/     9    \/     2916       729          \/     9    \/     2916       729        
(- - +   /   ----- + ------------, -----------------------------------------------------------------------------------)
   2   \/     2916       729               /           ______________________\ /         ______________________\        
                                           |          /              _______ | |        /              _______ |        
                                           |  3      /  36229   98*\/ 11791  | |3      /  36229   98*\/ 11791  |        
                                           |- - +   /   ----- + ------------ |*|- +   /   ----- + ------------ |        
                                           \  2   \/     2916       729      / \2   \/     2916       729      /        

                                          __________________________________         __________________________________ 
                                         /           ______________________         /           ______________________  
                                        /           /              _______         /           /              _______   
            ______________________     /   49      /  36229   98*\/ 11791         /   49      /  36229   98*\/ 11791    
           /              _______     /    -- +   /   ----- + ------------   -   /    -- -   /   ----- + ------------   
   3      /  36229   98*\/ 11791    \/     9    \/     2916       729          \/     9    \/     2916       729        
(- - -   /   ----- + ------------, -----------------------------------------------------------------------------------)
   2   \/     2916       729               /           ______________________\ /         ______________________\        
                                           |          /              _______ | |        /              _______ |        
                                           |  3      /  36229   98*\/ 11791  | |3      /  36229   98*\/ 11791  |        
                                           |- - -   /   ----- + ------------ |*|- -   /   ----- + ------------ |        
                                           \  2   \/     2916       729      / \2   \/     2916       729      /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−362292916+9811791729−32x_{1} = - \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−32+362292916+9811791729x_{1} = - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}
Decrece en los intervalos
[−362292916+9811791729−32,−32+362292916+9811791729]\left[- \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−362292916+9811791729−32]∪[−32+362292916+9811791729,∞)\left(-\infty, - \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(7118−x−x+12518x(x+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}}{x \left(x + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(7118−x−x+12518x(x+3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}}{x \left(x + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(71/18 - x) - sqrt(x + 125/18))/((x*(x + 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x+3)(7118−x−x+12518)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x + 3\right)} \left(\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x+3)(7118−x−x+12518)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x + 3\right)} \left(\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
7118−x−x+12518x(x+3)=−−12518−x+x+7118x(3−x)\frac{\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}}{x \left(x + 3\right)} = - \frac{- \sqrt{\frac{125}{18} - x} + \sqrt{x + \frac{71}{18}}}{x \left(3 - x\right)}
- No
7118−x−x+12518x(x+3)=−12518−x+x+7118x(3−x)\frac{\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}}{x \left(x + 3\right)} = \frac{- \sqrt{\frac{125}{18} - x} + \sqrt{x + \frac{71}{18}}}{x \left(3 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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