Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{1}{x \left(x + 3\right)} \left(- \frac{1}{2 \sqrt{x + \frac{125}{18}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{71}{18} - x}}\right) + \frac{\left(- 2 x - 3\right) \left(\sqrt{\frac{71}{18} - x} - \sqrt{x + \frac{125}{18}}\right)}{x^{2} \left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
__________________________________ __________________________________
/ ______________________ / ______________________
/ / _______ / / _______
______________________ / 49 / 36229 98*\/ 11791 / 49 / 36229 98*\/ 11791
/ _______ / -- - / ----- + ------------ - / -- + / ----- + ------------
3 / 36229 98*\/ 11791 \/ 9 \/ 2916 729 \/ 9 \/ 2916 729
(- - + / ----- + ------------, -----------------------------------------------------------------------------------)
2 \/ 2916 729 / ______________________\ / ______________________\
| / _______ | | / _______ |
| 3 / 36229 98*\/ 11791 | |3 / 36229 98*\/ 11791 |
|- - + / ----- + ------------ |*|- + / ----- + ------------ |
\ 2 \/ 2916 729 / \2 \/ 2916 729 /
__________________________________ __________________________________
/ ______________________ / ______________________
/ / _______ / / _______
______________________ / 49 / 36229 98*\/ 11791 / 49 / 36229 98*\/ 11791
/ _______ / -- + / ----- + ------------ - / -- - / ----- + ------------
3 / 36229 98*\/ 11791 \/ 9 \/ 2916 729 \/ 9 \/ 2916 729
(- - - / ----- + ------------, -----------------------------------------------------------------------------------)
2 \/ 2916 729 / ______________________\ / ______________________\
| / _______ | | / _______ |
| 3 / 36229 98*\/ 11791 | |3 / 36229 98*\/ 11791 |
|- - - / ----- + ------------ |*|- - / ----- + ------------ |
\ 2 \/ 2916 729 / \2 \/ 2916 729 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{36229}{2916} + \frac{98 \sqrt{11791}}{729}}, \infty\right)$$