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x^4-10x^2+9
Trazado el gráfico de la función/ x^4-10x^2+9

Gráfico de la función y = x^4-10x^2+9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4       2    
f(x) = x  - 10*x  + 9
f(x)=(x4−10x2)+9f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9 
f = x^4 - 10*x^2 + 9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−10x2)+9=0\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
x4=3x_{4} = 3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
x3=−1x_{3} = -1
x4=1x_{4} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 10*x^2 + 9.
(04−10⋅02)+9\left(0^{4} - 10 \cdot 0^{2}\right) + 9
Resultado:
f(0)=9f{\left(0 \right)} = 9
Punto:
(0, 9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−20x=04 x^{3} - 20 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−5x_{2} = - \sqrt{5}
x3=5x_{3} = \sqrt{5}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 9)

    ___      
(-\/ 5, -16)

   ___      
(\/ 5, -16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5x_{1} = - \sqrt{5}
x2=5x_{2} = \sqrt{5}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−5,0]∪[5,∞)\left[- \sqrt{5}, 0\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5]∪[0,5]\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \sqrt{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−5)=04 \left(3 x^{2} - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−153x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}
x2=153x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−153]∪[153,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−153,153]\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−10x2)+9)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−10x2)+9)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 10*x^2 + 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−10x2)+9x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−10x2)+9x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−10x2)+9=(x4−10x2)+9\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9 = \left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9
- Sí
(x4−10x2)+9=(−x4+10x2)−9\left(x^{4} - 10 x^{2}\right) + 9 = \left(- x^{4} + 10 x^{2}\right) - 9
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-10x^2+9
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