Sr Examen

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2x-1/(x-1)²
Trazado el gráfico de la función/ 2x-1/(x-1)²

Gráfico de la función y = 2x-1/(x-1)²

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                1    
f(x) = 2*x - --------
                    2
             (x - 1)
f(x)=2x−1(x−1)2f{\left(x \right)} = 2 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} 
f = 2*x - 1/(x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−1(x−1)2=02 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=195736+231083+23+5736+231083x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{36} + \frac{23}{108}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{36} + \frac{23}{108}}
Solución numérica
x1=1.56519771738364x_{1} = 1.56519771738364
x2=1.56519771738355x_{2} = 1.56519771738355
x3=1.56519771738359x_{3} = 1.56519771738359
x4=1.56519771738366x_{4} = 1.56519771738366
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x - 1/(x - 1)^2.
−1(−1)2+0⋅2- \frac{1}{\left(-1\right)^{2}} + 0 \cdot 2
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2−2x(x−1)4+2=0- \frac{2 - 2 x}{\left(x - 1\right)^{4}} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−6(x−1)4=0- \frac{6}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−1(x−1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(2 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2x−1(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(2 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x - 1/(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−1(x−1)2x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = 2 x
lim⁡x→∞(2x−1(x−1)2x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−1(x−1)2=−2x−1(−x−1)22 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} = - 2 x - \frac{1}{\left(- x - 1\right)^{2}}
- No
2x−1(x−1)2=2x+1(−x−1)22 x - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 2 x + \frac{1}{\left(- x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2x-1/(x-1)²
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