Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
2*pi 1 ___ 2*pi
(----, - - + \/ 3 + ----)
3 4 3
4*pi 1 ___ 4*pi
(----, - - - \/ 3 + ----)
3 4 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{4 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$