Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xexp^-x

Gráfico de la función y = xexp^-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -x
f(x) = x*E
f(x)=e−xxf{\left(x \right)} = e^{- x} x 
f = E^(-x)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-400000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−xx=0e^{- x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=99.4236264980399x_{1} = 99.4236264980399
x2=69.5523925194344x_{2} = 69.5523925194344
x3=32.3772961851972x_{3} = 32.3772961851972
x4=119.378231552779x_{4} = 119.378231552779
x5=117.381987933686x_{5} = 117.381987933686
x6=41.9272307499711x_{6} = 41.9272307499711
x7=111.394173451874x_{7} = 111.394173451874
x8=73.5277731870455x_{8} = 73.5277731870455
x9=59.6328238138969x_{9} = 59.6328238138969
x10=49.758798960419x_{10} = 49.758798960419
x11=63.5967547129854x_{11} = 63.5967547129854
x12=107.40315817241x_{12} = 107.40315817241
x13=113.389949729147x_{13} = 113.389949729147
x14=103.412938828373x_{14} = 103.412938828373
x15=45.8319875396224x_{15} = 45.8319875396224
x16=105.407942520376x_{16} = 105.407942520376
x17=79.496455118891x_{17} = 79.496455118891
x18=38.0568716419232x_{18} = 38.0568716419232
x19=101.418161552262x_{19} = 101.418161552262
x20=77.5062407712727x_{20} = 77.5062407712727
x21=65.580821222158x_{21} = 65.580821222158
x22=121.374613775997x_{22} = 121.374613775997
x23=83.4785626915261x_{23} = 83.4785626915261
x24=39.9866376954424x_{24} = 39.9866376954424
x25=34.2454094695441x_{25} = 34.2454094695441
x26=93.4416565533312x_{26} = 93.4416565533312
x27=75.5166588459953x_{27} = 75.5166588459953
x28=67.5660769899711x_{28} = 67.5660769899711
x29=47.7931569932505x_{29} = 47.7931569932505
x30=51.7281686335153x_{30} = 51.7281686335153
x31=61.614029218278x_{31} = 61.614029218278
x32=43.8762545098096x_{32} = 43.8762545098096
x33=71.5396566043977x_{33} = 71.5396566043977
x34=85.4703620749206x_{34} = 85.4703620749206
x35=53.7006804984823x_{35} = 53.7006804984823
x36=95.4353540260187x_{36} = 95.4353540260187
x37=87.4626045093137x_{37} = 87.4626045093137
x38=115.385891060967x_{38} = 115.385891060967
x39=109.398572537176x_{39} = 109.398572537176
x40=81.4872456640903x_{40} = 81.4872456640903
x41=57.6533514231885x_{41} = 57.6533514231885
x42=89.4552548670559x_{42} = 89.4552548670559
x43=91.4482816547886x_{43} = 91.4482816547886
x44=36.1413894508705x_{44} = 36.1413894508705
x45=55.67586733869x_{45} = 55.67586733869
x46=0x_{46} = 0
x47=97.429350983852x_{47} = 97.429350983852
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(-x).
0e−00 e^{- 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xe−x+e−x=0- x e^{- x} + e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
     -1 
(1, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−2)e−x=0\left(x - 2\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e−x=∞\lim_{x \to -\infty} e^{- x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞e−x=0\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−xx=−xexe^{- x} x = - x e^{x}
- No
e−xx=xexe^{- x} x = x e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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