Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x
-
x^3/(x^2-1)
-
x^3-3*x
-
-x^2
- Derivada de:
-
(x^2+1)/(x^3-1)
- Integral de d{x}:
- (x^2+1)/(x^3-1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + uno)/(x^ tres - uno)
- (x al cuadrado más 1) dividir por (x al cubo menos 1)
- (x en el grado dos más uno) dividir por (x en el grado tres menos uno)
- (x2+1)/(x3-1)
- x2+1/x3-1
- (x²+1)/(x³-1)
- (x en el grado 2+1)/(x en el grado 3-1)
- x^2+1/x^3-1
- (x^2+1) dividir por (x^3-1)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-1)/(x^3-1)
- (x^2+1)/(x^3+1)
Gráfico de la función y = (x^2+1)/(x^3-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + 1
f(x) = ------
3
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$$
f = (x^2 + 1)/(x^3 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)
2
/ _______________\
| 3 / ___ |
| 3 \/ 27 + 27*\/ 2 |
1 + |------------------ - ------------------|
_______________ | _______________ 3 |
3 / ___ |3 / ___ |
3 \/ 27 + 27*\/ 2 \\/ 27 + 27*\/ 2 /
(------------------ - ------------------, -----------------------------------------------)
_______________ 3 3
3 / ___ / _______________\
\/ 27 + 27*\/ 2 | 3 / ___ |
| 3 \/ 27 + 27*\/ 2 |
-1 + |------------------ - ------------------|
| _______________ 3 |
|3 / ___ |
\\/ 27 + 27*\/ 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.16555408630366$$
$$x_{2} = -0.290553628621719$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.16555408630366, -0.290553628621719\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.16555408630366\right] \cup \left[-0.290553628621719, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.16555408630366$$
$$x_{2} = -0.290553628621719$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.16555408630366, -0.290553628621719\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.16555408630366\right] \cup \left[-0.290553628621719, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 1)/(x^3 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + 1}{- x^{3} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{- x^{3} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + 1}{- x^{3} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{- x^{3} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico