Sr Examen

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(x^2+1)/(x^3-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+1)/(x^3-1)

Gráfico de la función y = (x^2+1)/(x^3-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  + 1
f(x) = ------
        3    
       x  - 1
f(x)=x2+1x3−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} 
f = (x^2 + 1)/(x^3 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+1x3−1=0\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 1)/(x^3 - 1).
02+1−1+03\frac{0^{2} + 1}{-1 + 0^{3}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2(x2+1)(x3−1)2+2xx3−1=0- \frac{3 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−27+27233+327+2723x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

                                                                                        2 
                                               /                        _______________\  
                                               |                     3 /           ___ |  
                                               |        3            \/  27 + 27*\/ 2  |  
                                           1 + |------------------ - ------------------|  
                         _______________       |   _______________           3         |  
                      3 /           ___        |3 /           ___                      |  
         3            \/  27 + 27*\/ 2         \\/  27 + 27*\/ 2                       /  
(------------------ - ------------------, -----------------------------------------------)
    _______________           3                                                         3 
 3 /           ___                             /                        _______________\  
 \/  27 + 27*\/ 2                              |                     3 /           ___ |  
                                               |        3            \/  27 + 27*\/ 2  |  
                                          -1 + |------------------ - ------------------|  
                                               |   _______________           3         |  
                                               |3 /           ___                      |  
                                               \\/  27 + 27*\/ 2                       /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−27+27233+327+2723x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−27+27233+327+2723,0]\left[- \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−27+27233+327+2723]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−6x3x3−1+3x(x2+1)(3x3x3−1−1)x3−1+1)x3−1=0\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.16555408630366x_{1} = -1.16555408630366
x2=−0.290553628621719x_{2} = -0.290553628621719
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2(−6x3x3−1+3x(x2+1)(3x3x3−1−1)x3−1+1)x3−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(−6x3x3−1+3x(x2+1)(3x3x3−1−1)x3−1+1)x3−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} - 1} + \frac{3 x \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.16555408630366,−0.290553628621719]\left[-1.16555408630366, -0.290553628621719\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.16555408630366]∪[−0.290553628621719,∞)\left(-\infty, -1.16555408630366\right] \cup \left[-0.290553628621719, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1x3−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x2+1x3−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 1)/(x^3 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1x(x3−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2+1x(x3−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+1x3−1=x2+1−x3−1\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + 1}{- x^{3} - 1}
- No
x2+1x3−1=−x2+1−x3−1\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{- x^{3} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+1)/(x^3-1)
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