Sr Examen

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(x(x+2))/(2x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x(x+2))/(2x-1)

Gráfico de la función y = (x(x+2))/(2x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x*(x + 2)
f(x) = ---------
        2*x - 1
f(x)=x(x+2)2x−1f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} 
f = (x*(x + 2))/(2*x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+2)2x−1=0\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x + 2))/(2*x - 1).
0⋅2−1+0⋅2\frac{0 \cdot 2}{-1 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+2)(2x−1)2+2x+22x−1=0- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{2 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12+52x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                   /      ___\ /      ___\  
               ___ |1   \/ 5 | |5   \/ 5 |  
       ___  -\/ 5 *|- - -----|*|- - -----|  
 1   \/ 5          \2     2  / \2     2  /  
(- - -----, -------------------------------)
 2     2                   5                

                  /      ___\ /      ___\ 
              ___ |1   \/ 5 | |5   \/ 5 | 
       ___  \/ 5 *|- + -----|*|- + -----| 
 1   \/ 5         \2     2  / \2     2  / 
(- + -----, -----------------------------)
 2     2                  5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12+52x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12−52]∪[12+52,∞)\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[12−52,12+52]\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x(x+2)(2x−1)2−4(x+1)2x−1+1)2x−1=0\frac{2 \left(\frac{4 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4 \left(x + 1\right)}{2 x - 1} + 1\right)}{2 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+2)2x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x+2)2x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x + 2))/(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+22x−1)=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x+22x−1)=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+2)2x−1=−x(2−x)−2x−1\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = - \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}
- No
x(x+2)2x−1=x(2−x)−2x−1\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x(x+2))/(2x-1)
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