Gráfico de la función y = (x(x+2))/(2x-1)

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       x*(x + 2)
f(x) = ---------
        2*x - 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}$$

f = (x*(x + 2))/(2*x - 1)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.5$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x + 2))/(2*x - 1).
$$\frac{0 \cdot 2}{-1 + 0 \cdot 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:

                   /      ___\ /      ___\  
               ___ |1   \/ 5 | |5   \/ 5 |  
       ___  -\/ 5 *|- - -----|*|- - -----|  
 1   \/ 5          \2     2  / \2     2  /  
(- - -----, -------------------------------)
 2     2                   5

                  /      ___\ /      ___\ 
              ___ |1   \/ 5 | |5   \/ 5 | 
       ___  \/ 5 *|- + -----|*|- + -----| 
 1   \/ 5         \2     2  / \2     2  / 
(- + -----, -----------------------------)
 2     2                  5

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4 \left(x + 1\right)}{2 x - 1} + 1\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = 0.5$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x + 2))/(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = - \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}$$
- No
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = (x(x+2))/(2x-1)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución