Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)*e^(3x-1)
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (x*(x+ dos))/(dos *x- uno)
- (x multiplicar por (x más 2)) dividir por (2 multiplicar por x menos 1)
- (x multiplicar por (x más dos)) dividir por (dos multiplicar por x menos uno)
- (x(x+2))/(2x-1)
- xx+2/2x-1
- (x*(x+2)) dividir por (2*x-1)
-
Expresiones semejantes
- (x*(x+2))/(2*x+1)
- (x*(x-2))/(2*x-1)
Gráfico de la función y = (x*(x+2))/(2*x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
x*(x + 2)
f(x) = ---------
2*x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}$$
f = (x*(x + 2))/(2*x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{1} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\ / ___\
___ |1 \/ 5 | |5 \/ 5 |
___ -\/ 5 *|- - -----|*|- - -----|
1 \/ 5 \2 2 / \2 2 /
(- - -----, -------------------------------)
2 2 5 / ___\ / ___\
___ |1 \/ 5 | |5 \/ 5 |
___ \/ 5 *|- + -----|*|- + -----|
1 \/ 5 \2 2 / \2 2 /
(- + -----, -----------------------------)
2 2 5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4 \left(x + 1\right)}{2 x - 1} + 1\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4 \left(x + 1\right)}{2 x - 1} + 1\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{1} = 0.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x + 2))/(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = - \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}$$
- No
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = - \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}$$
- No
$$\frac{x \left(x + 2\right)}{2 x - 1} = \frac{x \left(2 - x\right)}{- 2 x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar