Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
x/(x^2-1)^(1/3)
-
x*e^(-((x^2)/2))
-
(x^2-5)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- dos *x/(x^ dos - siete)^(uno / tres)
- 2 multiplicar por x dividir por (x al cuadrado menos 7) en el grado (1 dividir por 3)
- dos multiplicar por x dividir por (x en el grado dos menos siete) en el grado (uno dividir por tres)
- 2*x/(x2-7)(1/3)
- 2*x/x2-71/3
- 2*x/(x²-7)^(1/3)
- 2*x/(x en el grado 2-7) en el grado (1/3)
- 2x/(x^2-7)^(1/3)
- 2x/(x2-7)(1/3)
- 2x/x2-71/3
- 2x/x^2-7^1/3
- 2*x dividir por (x^2-7)^(1 dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- 2*x/(x^2+7)^(1/3)
Gráfico de la función y = 2*x/(x^2-7)^(1/3)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
f(x) = -----------
________
3 / 2
\/ x - 7
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}$$
f = (2*x)/(x^2 - 7)^(1/3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{21}$$
$$x_{2} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{21}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{21}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{21}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{21}$$
$$x_{2} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
____ 2/3 ___ 6 ___ (-\/ 21, -2 *\/ 3 *\/ 7 )
__________________________________
/ 3
__________________________________ / / 3 ____ ___ 3 ____\
/ 3 / | \/ 14 I*\/ 3 *\/ 14 |
/ / 3 ____ ___ 3 ____\ -2* / 7 + |- ------ - --------------|
/ | \/ 14 I*\/ 3 *\/ 14 | \/ \ 2 2 /
(- / 7 + |- ------ - --------------| , -------------------------------------------)
\/ \ 2 2 / ______________________________
/ 3
/ / 3 ____ ___ 3 ____\
/ | \/ 14 I*\/ 3 *\/ 14 |
3 / |- ------ - --------------|
\/ \ 2 2 / __________________________________
/ 3
__________________________________ / / 3 ____ ___ 3 ____\
/ 3 / | \/ 14 I*\/ 3 *\/ 14 |
/ / 3 ____ ___ 3 ____\ -2* / 7 + |- ------ + --------------|
/ | \/ 14 I*\/ 3 *\/ 14 | \/ \ 2 2 /
(- / 7 + |- ------ + --------------| , -------------------------------------------)
\/ \ 2 2 / ______________________________
/ 3
/ / 3 ____ ___ 3 ____\
/ | \/ 14 I*\/ 3 *\/ 14 |
3 / |- ------ + --------------|
\/ \ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{21}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{21}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{21}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} - \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{7 + \left(- \frac{\sqrt[3]{14}}{2} + \frac{\sqrt[3]{14} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{7}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
$$\lim_{x \to -2.64575131106459^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2.64575131106459^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(0.5 - 0.866025403784438 i\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2.64575131106459^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(-0.5 + 0.866025403784438 i\right)$$
$$\lim_{x \to 2.64575131106459^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{7}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{7}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{7}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
$$\lim_{x \to -2.64575131106459^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2.64575131106459^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(0.5 - 0.866025403784438 i\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2.64575131106459^-}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(-0.5 + 0.866025403784438 i\right)$$
$$\lim_{x \to 2.64575131106459^+}\left(\frac{4 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 7} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 7\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{7}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{7}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x)/(x^2 - 7)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = - \frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}$$
- No
$$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = \frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = - \frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}$$
- No
$$\frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}} = \frac{2 x}{\sqrt[3]{x^{2} - 7}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico