Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/(3-x^2)
-
(x-3)^2
-
x^2/(x-1)
-
x^3-3*x^2+4
- Límite de la función:
-
(8+x^4)/(-2*x^4+3*x)
-
Expresiones idénticas
- (ocho +x^ cuatro)/(- dos *x^ cuatro + tres *x)
- (8 más x en el grado 4) dividir por ( menos 2 multiplicar por x en el grado 4 más 3 multiplicar por x)
- (ocho más x en el grado cuatro) dividir por ( menos dos multiplicar por x en el grado cuatro más tres multiplicar por x)
- (8+x4)/(-2*x4+3*x)
- 8+x4/-2*x4+3*x
- (8+x⁴)/(-2*x⁴+3*x)
- (8+x^4)/(-2x^4+3x)
- (8+x4)/(-2x4+3x)
- 8+x4/-2x4+3x
- 8+x^4/-2x^4+3x
- (8+x^4) dividir por (-2*x^4+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (8+x^4)/(2*x^4+3*x)
- (8+x^4)/(-2*x^4-3*x)
- (8-x^4)/(-2*x^4+3*x)
Gráfico de la función y = (8+x^4)/(-2*x^4+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
4
8 + x
f(x) = ------------
4
- 2*x + 3*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x}$$
f = (x^4 + 8)/(-2*x^4 + 3*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x^{3}}{- 2 x^{4} + 3 x} + \frac{\left(8 x^{3} - 3\right) \left(x^{4} + 8\right)}{\left(- 2 x^{4} + 3 x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2}\right] \cup \left[- \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2}, - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x^{3}}{- 2 x^{4} + 3 x} + \frac{\left(8 x^{3} - 3\right) \left(x^{4} + 8\right)}{\left(- 2 x^{4} + 3 x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
4
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/ 9*3 / - ---- + ------------ / 1024 / 2048 16*\/ 16546 16 / 1024 / 2048 16*\/ 16546 16 | / / 81 \/ 243 243 _______________________ / 81 \/ 243 243 _______________________ |
/ \/ 243 243 729* / ---- + 2*3 / - ---- + ------------ - ------------------------------ / ---- + 2*3 / - ---- + ------------ - ------------------------------ | / / / _______ / / _______ |
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/ / 9*3 / - ---- + ------------ / 9*3 / - ---- + ------------ 8 + |- -- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------|
16 \/ \/ \/ 243 243 \/ \/ 243 243 \ 9 2 2 /
(- -- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
9 2 2 4
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| / \/ 243 243 729* / ---- + 2*3 / - ---- + ------------ - ------------------------------ / ---- + 2*3 / - ---- + ------------ - ------------------------------ | 3* / ---- + 2*3 / - ---- + ------------ - ------------------------------ / \/ 243 243 729* / ---- + 2*3 / - ---- + ------------ - ------------------------------
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16 | 16 \/ \/ \/ 243 243 \/ \/ 243 243 | \/ \/ 243 243 \/ \/ \/ 243 243
- -- - 2*|- -- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------| - ------------------------------------------------------------------------------------ + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 \ 9 2 2 / 2 2 4
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(- -- - ---------------------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
9 2 2 4
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| / 81 \/ 243 243 _______________________ / / 81 \/ 243 243 _______________________ | / 81 \/ 243 243 _______________________ / / 81 \/ 243 243 _______________________
| / / _______ / / / _______ | / / _______ / / / _______
| / / 2048 16*\/ 16546 / / / 2048 16*\/ 16546 | / / 2048 16*\/ 16546 / / / 2048 16*\/ 16546
| / 9*3 / - ---- + ------------ / / 9*3 / - ---- + ------------ | / 9*3 / - ---- + ------------ / / 9*3 / - ---- + ------------
16 | 16 \/ \/ 243 243 \/ \/ \/ 243 243 | \/ \/ 243 243 \/ \/ \/ 243 243
- -- - 2*|- -- - ---------------------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - ------------------------------------------------------------------------------------ - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 \ 9 2 2 / 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2}\right] \cup \left[- \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2} - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2}, - \frac{16}{9} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + \frac{2048}{81} + \frac{65536}{729 \sqrt{\left|{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{2048}{243} + \frac{16 \sqrt{16546}}{243}} + \frac{1024}{81}}\right|}}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8.90213681285912$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1.14471424255333^-}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.14471424255333^+}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8.90213681285912$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1.14471424255333^-}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.14471424255333^+}\left(\frac{2 \left(- 6 x + \frac{4 x \left(8 x^{3} - 3\right)}{2 x^{3} - 3} + \frac{\left(12 - \frac{\left(8 x^{3} - 3\right)^{2}}{x^{3} \left(2 x^{3} - 3\right)}\right) \left(x^{4} + 8\right)}{2 x^{3} - 3}\right)}{2 x^{3} - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.14471424255333$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \frac{1}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8 + x^4)/(-2*x^4 + 3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{x \left(- 2 x^{4} + 3 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{x \left(- 2 x^{4} + 3 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{x \left(- 2 x^{4} + 3 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 8}{x \left(- 2 x^{4} + 3 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x} = \frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} - 3 x}$$
- No
$$\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x} = - \frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} - 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x} = \frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} - 3 x}$$
- No
$$\frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} + 3 x} = - \frac{x^{4} + 8}{- 2 x^{4} - 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar