Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
- Límite de la función:
-
(-1+x+x^3-x^2)/(-2+x+x^3)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x+x^ tres -x^ dos)/(- dos +x+x^ tres)
- ( menos 1 más x más x al cubo menos x al cuadrado ) dividir por ( menos 2 más x más x al cubo )
- ( menos uno más x más x en el grado tres menos x en el grado dos) dividir por ( menos dos más x más x en el grado tres)
- (-1+x+x3-x2)/(-2+x+x3)
- -1+x+x3-x2/-2+x+x3
- (-1+x+x³-x²)/(-2+x+x³)
- (-1+x+x en el grado 3-x en el grado 2)/(-2+x+x en el grado 3)
- -1+x+x^3-x^2/-2+x+x^3
- (-1+x+x^3-x^2) dividir por (-2+x+x^3)
-
Expresiones semejantes
- (-1+x+x^3-x^2)/(2+x+x^3)
- (-1-x+x^3-x^2)/(-2+x+x^3)
- (-1+x+x^3+x^2)/(-2+x+x^3)
- (1+x+x^3-x^2)/(-2+x+x^3)
- (-1+x-x^3-x^2)/(-2+x+x^3)
- (-1+x+x^3-x^2)/(-2-x+x^3)
- (-1+x+x^3-x^2)/(-2+x-x^3)
Gráfico de la función y = (-1+x+x^3-x^2)/(-2+x+x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
-1 + x + x - x
f(x) = ----------------
3
-2 + x + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)}$$
f = (-x^2 + x^3 + x - 1)/(x^3 + x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 3 x^{2} - 1\right) \left(- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)\right)}{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 3 x^{2} - 1\right) \left(- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)\right)}{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
___ / ___\ / ___\
___ -2 + \/ 2 + \-1 + \/ 2 / - \-1 + \/ 2 /
(-1 + \/ 2, ------------------------------------------)
3
___ / ___\
-3 + \/ 2 + \-1 + \/ 2 / 3 2
/ ___\ ___ / ___\
___ -2 + \-1 - \/ 2 / - \/ 2 - \-1 - \/ 2 /
(-1 - \/ 2, ------------------------------------------)
3
/ ___\ ___
-3 + \-1 - \/ 2 / - \/ 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}\right) \left(x^{3} - x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{x^{3} + x - 2} - 1\right)}{x^{3} + x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{7} i}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{7} i}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 x - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}\right) \left(x^{3} - x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{x^{3} + x - 2} - 1\right)}{x^{3} + x - 2}\right) = 0.0624999999999996$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 x - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}\right) \left(x^{3} - x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{x^{3} + x - 2} - 1\right)}{x^{3} + x - 2}\right) = 0.0624999999999996$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{3} \right)} - 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{3} \right)} - 1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}\right) \left(x^{3} - x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{x^{3} + x - 2} - 1\right)}{x^{3} + x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{7} i}}{3} - \frac{6}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{7} i}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 x - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}\right) \left(x^{3} - x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{x^{3} + x - 2} - 1\right)}{x^{3} + x - 2}\right) = 0.0624999999999996$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 x - \frac{\left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}\right) \left(x^{3} - x^{2} + x - 1\right)}{x^{3} + x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{x^{3} + x - 2} - 1\right)}{x^{3} + x - 2}\right) = 0.0624999999999996$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{3} \right)} - 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{3} \right)} - 1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + x + x^3 - x^2)/(-2 + x + x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x \left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x \left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x \left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x \left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = \frac{- x^{3} - x^{2} - x - 1}{- x^{3} - x - 2}$$
- No
$$\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = - \frac{- x^{3} - x^{2} - x - 1}{- x^{3} - x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = \frac{- x^{3} - x^{2} - x - 1}{- x^{3} - x - 2}$$
- No
$$\frac{- x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 1\right)\right)}{x^{3} + \left(x - 2\right)} = - \frac{- x^{3} - x^{2} - x - 1}{- x^{3} - x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico