Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) + \left(x + 3\right) \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) + \left(- \frac{x}{25} - \frac{1}{50}\right) \left(x - 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-1209
(-1/2, ------)
800
____ / ____\ / ____\ / ____\ / ____\
1 \/ 53 51 | 5 \/ 53 | |5 \/ 53 | |9 \/ 53 | |9 \/ 53 |
(- - + ------, -- + |- - + ------|*|- + ------|*|-- + ------|*|-- - ------|)
2 2 50 \ 2 2 / \2 2 / \10 10 / \20 20 /
____ / ____\ / ____\ / ____\ / ____\
1 \/ 53 51 | 5 \/ 53 | |5 \/ 53 | |9 \/ 53 | |9 \/ 53 |
(- - - ------, -- + |- - - ------|*|- - ------|*|-- - ------|*|-- + ------|)
2 2 50 \ 2 2 / \2 2 / \10 10 / \20 20 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}, \infty\right)$$