Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x^3/(x^2+x-2)

Gráfico de la función y = x^3/(x^2+x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3    
           x     
f(x) = ----------
        2        
       x  + x - 2
f(x)=x3(x2+x)−2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} 
f = x^3/(x^2 + x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(x2+x)−2=0\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−6.8197116797887⋅10−5x_{1} = -6.8197116797887 \cdot 10^{-5}
x2=1.75557020928953⋅10−5x_{2} = 1.75557020928953 \cdot 10^{-5}
x3=−8.50193675021376⋅10−5x_{3} = -8.50193675021376 \cdot 10^{-5}
x4=−0.0001028383969437x_{4} = -0.0001028383969437
x5=−2.25612759372824⋅10−5x_{5} = -2.25612759372824 \cdot 10^{-5}
x6=1.33965352354507⋅10−5x_{6} = 1.33965352354507 \cdot 10^{-5}
x7=8.03426191519414⋅10−5x_{7} = 8.03426191519414 \cdot 10^{-5}
x8=−2.03153389322588⋅10−5x_{8} = -2.03153389322588 \cdot 10^{-5}
x9=−5.22466539120072⋅10−5x_{9} = -5.22466539120072 \cdot 10^{-5}
x10=−9.66961448368894⋅10−5x_{10} = -9.66961448368894 \cdot 10^{-5}
x11=0.000120137836918036x_{11} = 0.000120137836918036
x12=7.18102505517082⋅10−5x_{12} = 7.18102505517082 \cdot 10^{-5}
x13=−0.000121805868951945x_{13} = -0.000121805868951945
x14=−3.70638808008892⋅10−5x_{14} = -3.70638808008892 \cdot 10^{-5}
x15=−7.28049241702698⋅10−5x_{15} = -7.28049241702698 \cdot 10^{-5}
x16=0x_{16} = 0
x17=−0.000134586717098258x_{17} = -0.000134586717098258
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(x^2 + x - 2).
03−2+02\frac{0^{3}}{-2 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3(−2x−1)((x2+x)−2)2+3x2(x2+x)−2=0\frac{x^{3} \left(- 2 x - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−1+7x_{2} = -1 + \sqrt{7}
x3=−7−1x_{3} = - \sqrt{7} - 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                               3        
                   /       ___\         
        ___        \-1 + \/ 7 /         
(-1 + \/ 7, --------------------------)
                                      2 
                    ___   /       ___\  
             -3 + \/ 7  + \-1 + \/ 7 /  

                               3        
                   /       ___\         
        ___        \-1 - \/ 7 /         
(-1 - \/ 7, --------------------------)
                              2         
                  /       ___\      ___ 
             -3 + \-1 - \/ 7 /  - \/ 7


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1+7x_{1} = -1 + \sqrt{7}
Puntos máximos de la función:
x1=−7−1x_{1} = - \sqrt{7} - 1
Decrece en los intervalos
(−∞,−7−1]∪[−1+7,∞)\left(-\infty, - \sqrt{7} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{7}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−7−1,−1+7]\left[- \sqrt{7} - 1, -1 + \sqrt{7}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2((2x+1)2x2+x−2−1)x2+x−2−3x(2x+1)x2+x−2+3)x2+x−2=0\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−2−(2x(x2((2x+1)2x2+x−2−1)x2+x−2−3x(2x+1)x2+x−2+3)x2+x−2)=−∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = -\infty
lim⁡x→−2+(2x(x2((2x+1)2x2+x−2−1)x2+x−2−3x(2x+1)x2+x−2+3)x2+x−2)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2x(x2((2x+1)2x2+x−2−1)x2+x−2−3x(2x+1)x2+x−2+3)x2+x−2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2x(x2((2x+1)2x2+x−2−1)x2+x−2−3x(2x+1)x2+x−2+3)x2+x−2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(x2+x)−2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3(x2+x)−2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 + x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x2+x)−2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2(x2+x)−2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(x2+x)−2=−x3x2−x−2\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}
- No
x3(x2+x)−2=x3x2−x−2\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор