Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
- Integral de d{x}:
- x^3/(x^2+x-2)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(x^ dos +x- dos)
- x al cubo dividir por (x al cuadrado más x menos 2)
- x en el grado tres dividir por (x en el grado dos más x menos dos)
- x3/(x2+x-2)
- x3/x2+x-2
- x³/(x²+x-2)
- x en el grado 3/(x en el grado 2+x-2)
- x^3/x^2+x-2
- x^3 dividir por (x^2+x-2)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(x^2+x+2)
- x^3/(x^2-x-2)
Gráfico de la función y = x^3/(x^2+x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = ----------
2
x + x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}$$
f = x^3/(x^2 + x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.8197116797887 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 1.75557020928953 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -8.50193675021376 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -0.0001028383969437$$
$$x_{5} = -2.25612759372824 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 1.33965352354507 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 8.03426191519414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -2.03153389322588 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -5.22466539120072 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -9.66961448368894 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0.000120137836918036$$
$$x_{12} = 7.18102505517082 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -0.000121805868951945$$
$$x_{14} = -3.70638808008892 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -7.28049241702698 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 0$$
$$x_{17} = -0.000134586717098258$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.8197116797887 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 1.75557020928953 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -8.50193675021376 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -0.0001028383969437$$
$$x_{5} = -2.25612759372824 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 1.33965352354507 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 8.03426191519414 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -2.03153389322588 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -5.22466539120072 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -9.66961448368894 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0.000120137836918036$$
$$x_{12} = 7.18102505517082 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -0.000121805868951945$$
$$x_{14} = -3.70638808008892 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -7.28049241702698 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 0$$
$$x_{17} = -0.000134586717098258$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(- 2 x - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{7}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{7} - 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{7} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{7} - 1, -1 + \sqrt{7}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(- 2 x - 1\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{7}$$
$$x_{3} = - \sqrt{7} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3
/ ___\
___ \-1 + \/ 7 /
(-1 + \/ 7, --------------------------)
2
___ / ___\
-3 + \/ 7 + \-1 + \/ 7 / 3
/ ___\
___ \-1 - \/ 7 /
(-1 - \/ 7, --------------------------)
2
/ ___\ ___
-3 + \-1 - \/ 7 / - \/ 7 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{7} - 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{7} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{7} - 1, -1 + \sqrt{7}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x - 2} - 1\right)}{x^{2} + x - 2} - \frac{3 x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x - 2} + 3\right)}{x^{2} + x - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 + x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + x\right) - 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} - x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar