Sr Examen

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x^3/(x^2-x-2)
Trazado el gráfico de la función/ x^3/(x^2-x-2)

Gráfico de la función y = x^3/(x^2-x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3    
           x     
f(x) = ----------
        2        
       x  - x - 2
f(x)=x3(x2−x)−2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} 
f = x^3/(x^2 - x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(x2−x)−2=0\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=1.60038986945293⋅10−5x_{1} = 1.60038986945293 \cdot 10^{-5}
x2=1.04205666605593⋅10−5x_{2} = 1.04205666605593 \cdot 10^{-5}
x3=0.000105207999082156x_{3} = 0.000105207999082156
x4=3.11619691520544⋅10−5x_{4} = 3.11619691520544 \cdot 10^{-5}
x5=−5.82093803794999⋅10−5x_{5} = -5.82093803794999 \cdot 10^{-5}
x6=8.20563292335313⋅10−5x_{6} = 8.20563292335313 \cdot 10^{-5}
x7=−0.000108359048199959x_{7} = -0.000108359048199959
x8=−6.51370398197843⋅10−5x_{8} = -6.51370398197843 \cdot 10^{-5}
x9=0x_{9} = 0
x10=0.0001243352305835x_{10} = 0.0001243352305835
x11=2.43911342160234⋅10−5x_{11} = 2.43911342160234 \cdot 10^{-5}
x12=1.02963876382843⋅10−5x_{12} = 1.02963876382843 \cdot 10^{-5}
x13=8.72509320619335⋅10−5x_{13} = 8.72509320619335 \cdot 10^{-5}
x14=0.000106066634656803x_{14} = 0.000106066634656803
x15=−1.59258360223441⋅10−5x_{15} = -1.59258360223441 \cdot 10^{-5}
x16=3.78625583877929⋅10−5x_{16} = 3.78625583877929 \cdot 10^{-5}
x17=5.42524642970898⋅10−5x_{17} = 5.42524642970898 \cdot 10^{-5}
x18=3.89765112587081⋅10−5x_{18} = 3.89765112587081 \cdot 10^{-5}
x19=7.03084358927536⋅10−5x_{19} = 7.03084358927536 \cdot 10^{-5}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(x^2 - x - 2).
03−2+(02−0)\frac{0^{3}}{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3(1−2x)((x2−x)−2)2+3x2(x2−x)−2=0\frac{x^{3} \left(1 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1−7x_{2} = 1 - \sqrt{7}
x3=1+7x_{3} = 1 + \sqrt{7}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                              3       
                   /      ___\        
       ___         \1 - \/ 7 /        
(1 - \/ 7, -------------------------)
                                    2 
                   ___   /      ___\  
            -3 + \/ 7  + \1 - \/ 7 /  

                              3       
                   /      ___\        
       ___         \1 + \/ 7 /        
(1 + \/ 7, -------------------------)
                            2         
                 /      ___\      ___ 
            -3 + \1 + \/ 7 /  - \/ 7


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+7x_{1} = 1 + \sqrt{7}
Puntos máximos de la función:
x1=1−7x_{1} = 1 - \sqrt{7}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−7]∪[1+7,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{7}\right] \cup \left[1 + \sqrt{7}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−7,1+7]\left[1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x(x2((2x−1)2−x2+x+2+1)−x2+x+2+3x(2x−1)−x2+x+2+3)−x2+x+2=0- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−1−(−2x(x2((2x−1)2−x2+x+2+1)−x2+x+2+3x(2x−1)−x2+x+2+3)−x2+x+2)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(−2x(x2((2x−1)2−x2+x+2+1)−x2+x+2+3x(2x−1)−x2+x+2+3)−x2+x+2)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(−2x(x2((2x−1)2−x2+x+2+1)−x2+x+2+3x(2x−1)−x2+x+2+3)−x2+x+2)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(−2x(x2((2x−1)2−x2+x+2+1)−x2+x+2+3x(2x−1)−x2+x+2+3)−x2+x+2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(x2−x)−2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3(x2−x)−2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x2−x)−2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2(x2−x)−2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(x2−x)−2=−x3x2+x−2\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2}
- No
x3(x2−x)−2=x3x2+x−2\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3/(x^2-x-2)
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