Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
- Integral de d{x}:
- x^3/(x^2-x-2)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(x^ dos -x- dos)
- x al cubo dividir por (x al cuadrado menos x menos 2)
- x en el grado tres dividir por (x en el grado dos menos x menos dos)
- x3/(x2-x-2)
- x3/x2-x-2
- x³/(x²-x-2)
- x en el grado 3/(x en el grado 2-x-2)
- x^3/x^2-x-2
- x^3 dividir por (x^2-x-2)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(x^2+x-2)
- x^3/(x^2-x+2)
Gráfico de la función y = x^3/(x^2-x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = ----------
2
x - x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}$$
f = x^3/(x^2 - x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.60038986945293 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 1.04205666605593 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 0.000105207999082156$$
$$x_{4} = 3.11619691520544 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -5.82093803794999 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 8.20563292335313 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = -0.000108359048199959$$
$$x_{8} = -6.51370398197843 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = 0.0001243352305835$$
$$x_{11} = 2.43911342160234 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 1.02963876382843 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 8.72509320619335 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 0.000106066634656803$$
$$x_{15} = -1.59258360223441 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 3.78625583877929 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 5.42524642970898 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 3.89765112587081 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 7.03084358927536 \cdot 10^{-5}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.60038986945293 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 1.04205666605593 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 0.000105207999082156$$
$$x_{4} = 3.11619691520544 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -5.82093803794999 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 8.20563292335313 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = -0.000108359048199959$$
$$x_{8} = -6.51370398197843 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = 0.0001243352305835$$
$$x_{11} = 2.43911342160234 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 1.02963876382843 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 8.72509320619335 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 0.000106066634656803$$
$$x_{15} = -1.59258360223441 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 3.78625583877929 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 5.42524642970898 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 3.89765112587081 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 7.03084358927536 \cdot 10^{-5}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(1 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{7}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{7}\right] \cup \left[1 + \sqrt{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(1 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{7}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3
/ ___\
___ \1 - \/ 7 /
(1 - \/ 7, -------------------------)
2
___ / ___\
-3 + \/ 7 + \1 - \/ 7 / 3
/ ___\
___ \1 + \/ 7 /
(1 + \/ 7, -------------------------)
2
/ ___\ ___
-3 + \1 + \/ 7 / - \/ 7 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{7}\right] \cup \left[1 + \sqrt{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{3 x \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico