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3*log(x+2)-2*x
Trazado el gráfico de la función/ 3*log(x+2)-2*x

Gráfico de la función y = 3*log(x+2)-2*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*log(x + 2) - 2*x
$$f{\left(x \right)} = - 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)}$$ 
f = -2*x + 3*log(x + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \frac{3 W\left(- \frac{2}{3 e^{\frac{4}{3}}}\right)}{2}$$
$$x_{2} = -2 - \frac{3 W_{-1}\left(- \frac{2}{3 e^{\frac{4}{3}}}\right)}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.67196851177369$$
$$x_{2} = 2.12594127099622$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*log(x + 2) - 2*x.
$$- 0 + 3 \log{\left(2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3 \log{\left(2 \right)}$$
Punto:
(0, 3*log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-2 + \frac{3}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, 1 + 3*log(3/2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{3}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*log(x + 2) - 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)}}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)}}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)} = 2 x + 3 \log{\left(2 - x \right)}$$
- No
$$- 2 x + 3 \log{\left(x + 2 \right)} = - 2 x - 3 \log{\left(2 - x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*log(x+2)-2*x
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