Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- y=(x)/(dos x- tres)+x^(2)
- y es igual a (x) dividir por (2x menos 3) más x en el grado (2)
- y es igual a (x) dividir por (dos x menos tres) más x en el grado (2)
- y=(x)/(2x-3)+x(2)
- y=x/2x-3+x2
- y=x/2x-3+x^2
- y=(x) dividir por (2x-3)+x^(2)
-
Expresiones semejantes
- y=(x)/(2x-3)-x^(2)
- y=(x)/(2x+3)+x^(2)
Gráfico de la función y = y=(x)/(2x-3)+x^(2)
Solución
Ha introducido
[src]
x 2
f(x) = ------- + x
2*x - 3
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}$$
f = x^2 + x/(2*x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1.5$$
$$x_{1} = 1.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.5$$
$$x_{3} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.5$$
$$x_{3} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{2 x}{\left(2 x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3} i}{16}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3} i}{16}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{2 x}{\left(2 x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3} i}{16}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3} i}{16}}$$
Signos de extremos en los puntos:
______________
/ ___
/ 1 I*\/ 3 1
1 + 3 / -- + ------- + ---------------------
\/ 16 16 ______________
2 / ___
______________ / ______________ \ / 1 I*\/ 3
/ ___ | / ___ | 4*3 / -- + -------
/ 1 I*\/ 3 1 | / 1 I*\/ 3 1 | \/ 16 16
(1 + 3 / -- + ------- + ---------------------, |1 + 3 / -- + ------- + ---------------------| + --------------------------------------------------)
\/ 16 16 ______________ | \/ 16 16 ______________| ______________
/ ___ | / ___ | / ___
/ 1 I*\/ 3 | / 1 I*\/ 3 | 1 / 1 I*\/ 3
4*3 / -- + ------- | 4*3 / -- + ------- | -1 + --------------------- + 2*3 / -- + -------
\/ 16 16 \ \/ 16 16 / ______________ \/ 16 16
/ ___
/ 1 I*\/ 3
2*3 / -- + -------
\/ 16 16 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5$$
$$\lim_{x \to 1.5^-}\left(2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1.5^+}\left(2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5$$
$$\lim_{x \to 1.5^-}\left(2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1.5^+}\left(2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1.5$$
$$x_{1} = 1.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(2*x - 3) + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = x^{2} - \frac{x}{- 2 x - 3}$$
- No
$$x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = - x^{2} + \frac{x}{- 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = x^{2} - \frac{x}{- 2 x - 3}$$
- No
$$x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = - x^{2} + \frac{x}{- 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico