Sr Examen

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y=(x)/(2x-3)+x^(2)
Trazado el gráfico de la función/ y=(x)/(2x-3)+x^(2)

Gráfico de la función y = y=(x)/(2x-3)+x^(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x       2
f(x) = ------- + x 
       2*x - 3
f(x)=x2+x2x−3f{\left(x \right)} = x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} 
f = x^2 + x/(2*x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+x2x−3=0x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=0.5x_{2} = 0.5
x3=1x_{3} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(2*x - 3) + x^2.
0−3+0⋅2+02\frac{0}{-3 + 0 \cdot 2} + 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2x(2x−3)2+12x−3=02 x - \frac{2 x}{\left(2 x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{2 x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+14116+3i163+116+3i163x_{1} = 1 + \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3} i}{16}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3} i}{16}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                 ______________                           
                                                                                                                /          ___                            
                                                                                                               /  1    I*\/ 3               1             
                                                                                                        1 + 3 /   -- + -------  + ---------------------   
                                                                                                            \/    16      16             ______________   
                                                                                                   2                                    /          ___    
          ______________                          /         ______________                        \                                    /  1    I*\/ 3     
         /          ___                           |        /          ___                         |                               4*3 /   -- + -------    
        /  1    I*\/ 3               1            |       /  1    I*\/ 3               1          |                                 \/    16      16      
(1 + 3 /   -- + -------  + ---------------------, |1 + 3 /   -- + -------  + ---------------------|  + --------------------------------------------------)
     \/    16      16             ______________  |    \/    16      16             ______________|                                        ______________ 
                                 /          ___   |                                /          ___ |                                       /          ___  
                                /  1    I*\/ 3    |                               /  1    I*\/ 3  |                   1                  /  1    I*\/ 3   
                           4*3 /   -- + -------   |                          4*3 /   -- + ------- |    -1 + --------------------- + 2*3 /   -- + -------  
                             \/    16      16     \                            \/    16      16   /                ______________     \/    16      16    
                                                                                                                  /          ___                          
                                                                                                                 /  1    I*\/ 3                           
                                                                                                            2*3 /   -- + -------                          
                                                                                                              \/    16      16


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=cos⁡(π9)+1x_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[cos⁡(π9)+1,∞)\left[\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,cos⁡(π9)+1]\left(-\infty, \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x(2x−3)3+1−2(2x−3)2)=02 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32−632x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1.5x_{1} = 1.5

lim⁡x→1.5−(2(4x(2x−3)3+1−2(2x−3)2))=−∞\lim_{x \to 1.5^-}\left(2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→1.5+(2(4x(2x−3)3+1−2(2x−3)2))=∞\lim_{x \to 1.5^+}\left(2 \left(\frac{4 x}{\left(2 x - 3\right)^{3}} + 1 - \frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1.5x_{1} = 1.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,32−632]\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[32−632,∞)\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+x2x−3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+x2x−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(2*x - 3) + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+x2x−3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+x2x−3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{x}{2 x - 3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+x2x−3=x2−x−2x−3x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = x^{2} - \frac{x}{- 2 x - 3}
- No
x2+x2x−3=−x2+x−2x−3x^{2} + \frac{x}{2 x - 3} = - x^{2} + \frac{x}{- 2 x - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x)/(2x-3)+x^(2)
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