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3*(x-3)^(2/3)-2x+6
Trazado el gráfico de la función/ 3*(x-3)^(2/3)-2x+6

Gráfico de la función y = 3*(x-3)^(2/3)-2x+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2/3          
f(x) = 3*(x - 3)    - 2*x + 6
$$f{\left(x \right)} = \left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6$$ 
f = -2*x + 3*(x - 3)^(2/3) + 6
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{51}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 6.375$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*(x - 3)^(2/3) - 2*x + 6.
$$6 + \left(- 0 + 3 \left(-3\right)^{\frac{2}{3}}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6 + 3 \left(-3\right)^{\frac{2}{3}}$$
Punto:
(0, 6 + 3*(-3)^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x - 3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(4, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*(x - 3)^(2/3) - 2*x + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6 = 2 x + 3 \left(- x - 3\right)^{\frac{2}{3}} + 6$$
- No
$$\left(- 2 x + 3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}\right) + 6 = - 2 x - 3 \left(- x - 3\right)^{\frac{2}{3}} - 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*(x-3)^(2/3)-2x+6
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