Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*sqrt(x)
-
cos(x)+sin(x)
-
y^2+1
-
x^3-3*x
- Derivada de:
-
-2x/(x^2-1)^2
-
Expresiones idénticas
- - dos x/(x^ dos - uno)^2
- menos 2x dividir por (x al cuadrado menos 1) al cuadrado
- menos dos x dividir por (x en el grado dos menos uno) al cuadrado
- -2x/(x2-1)2
- -2x/x2-12
- -2x/(x²-1)²
- -2x/(x en el grado 2-1) en el grado 2
- -2x/x^2-1^2
- -2x dividir por (x^2-1)^2
-
Expresiones semejantes
- -2x/(x^2+1)^2
- 2x/(x^2-1)^2
Gráfico de la función y = -2x/(x^2-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
-2*x
f(x) = ---------
2
/ 2 \
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
f = (-2*x)/(x^2 - 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -24509.4076256731$$
$$x_{2} = -27900.492652453$$
$$x_{3} = 22945.0573071609$$
$$x_{4} = -37225.3490351873$$
$$x_{5} = 23792.8707458989$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 39899.6373793217$$
$$x_{8} = 18705.7058128052$$
$$x_{9} = -27052.737092296$$
$$x_{10} = 26336.230277608$$
$$x_{11} = 30574.9607286225$$
$$x_{12} = -36377.6604419003$$
$$x_{13} = -23661.6064602865$$
$$x_{14} = 13617.3916429577$$
$$x_{15} = -22813.7906651013$$
$$x_{16} = -25357.1956280906$$
$$x_{17} = -26204.9717446159$$
$$x_{18} = 16161.7601634659$$
$$x_{19} = 33118.1118739225$$
$$x_{20} = -13486.0629303382$$
$$x_{21} = -33834.5693054934$$
$$x_{22} = 29727.2308152591$$
$$x_{23} = -39768.3932412975$$
$$x_{24} = -28748.239290691$$
$$x_{25} = 12769.1311938499$$
$$x_{26} = -34682.2708868702$$
$$x_{27} = -29595.9777734643$$
$$x_{28} = -11789.4194932989$$
$$x_{29} = 39051.9598251782$$
$$x_{30} = 32270.4007511367$$
$$x_{31} = 21249.3803723555$$
$$x_{32} = -32139.1507408333$$
$$x_{33} = -38073.0338727658$$
$$x_{34} = -17726.4711883433$$
$$x_{35} = -31291.43292325$$
$$x_{36} = -21118.1081408212$$
$$x_{37} = 19553.622232257$$
$$x_{38} = -16878.4853984547$$
$$x_{39} = 22097.2278225587$$
$$x_{40} = -19422.3428903681$$
$$x_{41} = 36508.9067380414$$
$$x_{42} = 34813.5185064768$$
$$x_{43} = 25488.4558880833$$
$$x_{44} = 33965.8176625065$$
$$x_{45} = 20401.5127178497$$
$$x_{46} = -15182.3860741083$$
$$x_{47} = -38920.7151999899$$
$$x_{48} = -30443.7087818787$$
$$x_{49} = 31422.6838625292$$
$$x_{50} = -35529.96782414$$
$$x_{51} = -12637.7892988554$$
$$x_{52} = 41594.9835238138$$
$$x_{53} = 17857.7597678008$$
$$x_{54} = -16030.4592776001$$
$$x_{55} = -14334.2574401388$$
$$x_{56} = 28031.748190538$$
$$x_{57} = 27183.9940576599$$
$$x_{58} = 40747.3118833833$$
$$x_{59} = 11920.7774961659$$
$$x_{60} = 28879.4935255786$$
$$x_{61} = 24640.6697943983$$
$$x_{62} = 42442.6524721704$$
$$x_{63} = -41463.7402721613$$
$$x_{64} = 35661.2147583842$$
$$x_{65} = -40616.0682023929$$
$$x_{66} = 14465.575228032$$
$$x_{67} = -21965.9585469319$$
$$x_{68} = 15313.6947073257$$
$$x_{69} = 37356.5947362375$$
$$x_{70} = -18574.4221668727$$
$$x_{71} = 17009.7796699387$$
$$x_{72} = -20270.2371532321$$
$$x_{73} = -32986.8627220526$$
$$x_{74} = -42311.4096243535$$
$$x_{75} = 38204.2790179564$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -24509.4076256731$$
$$x_{2} = -27900.492652453$$
$$x_{3} = 22945.0573071609$$
$$x_{4} = -37225.3490351873$$
$$x_{5} = 23792.8707458989$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 39899.6373793217$$
$$x_{8} = 18705.7058128052$$
$$x_{9} = -27052.737092296$$
$$x_{10} = 26336.230277608$$
$$x_{11} = 30574.9607286225$$
$$x_{12} = -36377.6604419003$$
$$x_{13} = -23661.6064602865$$
$$x_{14} = 13617.3916429577$$
$$x_{15} = -22813.7906651013$$
$$x_{16} = -25357.1956280906$$
$$x_{17} = -26204.9717446159$$
$$x_{18} = 16161.7601634659$$
$$x_{19} = 33118.1118739225$$
$$x_{20} = -13486.0629303382$$
$$x_{21} = -33834.5693054934$$
$$x_{22} = 29727.2308152591$$
$$x_{23} = -39768.3932412975$$
$$x_{24} = -28748.239290691$$
$$x_{25} = 12769.1311938499$$
$$x_{26} = -34682.2708868702$$
$$x_{27} = -29595.9777734643$$
$$x_{28} = -11789.4194932989$$
$$x_{29} = 39051.9598251782$$
$$x_{30} = 32270.4007511367$$
$$x_{31} = 21249.3803723555$$
$$x_{32} = -32139.1507408333$$
$$x_{33} = -38073.0338727658$$
$$x_{34} = -17726.4711883433$$
$$x_{35} = -31291.43292325$$
$$x_{36} = -21118.1081408212$$
$$x_{37} = 19553.622232257$$
$$x_{38} = -16878.4853984547$$
$$x_{39} = 22097.2278225587$$
$$x_{40} = -19422.3428903681$$
$$x_{41} = 36508.9067380414$$
$$x_{42} = 34813.5185064768$$
$$x_{43} = 25488.4558880833$$
$$x_{44} = 33965.8176625065$$
$$x_{45} = 20401.5127178497$$
$$x_{46} = -15182.3860741083$$
$$x_{47} = -38920.7151999899$$
$$x_{48} = -30443.7087818787$$
$$x_{49} = 31422.6838625292$$
$$x_{50} = -35529.96782414$$
$$x_{51} = -12637.7892988554$$
$$x_{52} = 41594.9835238138$$
$$x_{53} = 17857.7597678008$$
$$x_{54} = -16030.4592776001$$
$$x_{55} = -14334.2574401388$$
$$x_{56} = 28031.748190538$$
$$x_{57} = 27183.9940576599$$
$$x_{58} = 40747.3118833833$$
$$x_{59} = 11920.7774961659$$
$$x_{60} = 28879.4935255786$$
$$x_{61} = 24640.6697943983$$
$$x_{62} = 42442.6524721704$$
$$x_{63} = -41463.7402721613$$
$$x_{64} = 35661.2147583842$$
$$x_{65} = -40616.0682023929$$
$$x_{66} = 14465.575228032$$
$$x_{67} = -21965.9585469319$$
$$x_{68} = 15313.6947073257$$
$$x_{69} = 37356.5947362375$$
$$x_{70} = -18574.4221668727$$
$$x_{71} = 17009.7796699387$$
$$x_{72} = -20270.2371532321$$
$$x_{73} = -32986.8627220526$$
$$x_{74} = -42311.4096243535$$
$$x_{75} = 38204.2790179564$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2*x)/(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) 2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar