Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ logx*(x^2/2)

Gráfico de la función y = logx*(x^2/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               2
              x 
f(x) = log(x)*--
              2
f(x)=x22log⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} \log{\left(x \right)} 
f = (x^2/2)*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x22log⁡(x)=0\frac{x^{2}}{2} \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)*(x^2/2).
022log⁡(0)\frac{0^{2}}{2} \log{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xlog⁡(x)+x2=0x \log{\left(x \right)} + \frac{x}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
          -1  
  -1/2  -e    
(e   , -----)
          4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−12,∞)\left[e^{- \frac{1}{2}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−12]\left(-\infty, e^{- \frac{1}{2}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
log⁡(x)+32=0\log{\left(x \right)} + \frac{3}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−32x_{1} = e^{- \frac{3}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e−32,∞)\left[e^{- \frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e−32]\left(-\infty, e^{- \frac{3}{2}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x22log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{2} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x22log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{2} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)*(x^2/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x22log⁡(x)=x2log⁡(−x)2\frac{x^{2}}{2} \log{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \log{\left(- x \right)}}{2}
- No
x22log⁡(x)=−x2log⁡(−x)2\frac{x^{2}}{2} \log{\left(x \right)} = - \frac{x^{2} \log{\left(- x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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