Sr Examen

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sqrt(x)/(x-2)-2
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)/(x-2)-2

Gráfico de la función y = sqrt(x)/(x-2)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___    
       \/ x     
f(x) = ----- - 2
       x - 2
f(x)=xx−2−2f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2 
f = sqrt(x)/(x - 2) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx−2−2=0\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=338+178x_{1} = \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{17}{8}
Solución numérica
x1=2.84307033081725x_{1} = 2.84307033081725
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)/(x - 2) - 2.
−2+0−2-2 + \frac{\sqrt{0}}{-2}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(x−2)2+12x(x−2)=0- \frac{\sqrt{x}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
              ___ 
          I*\/ 2  
(-2, -2 - -------)
             4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx−2−2)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2y = -2
lim⁡x→∞(xx−2−2)=−2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−2y = -2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)/(x - 2) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx−2−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xx−2−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx−2−2=−x−x−2−2\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2 = \frac{\sqrt{- x}}{- x - 2} - 2
- No
xx−2−2=−−x−x−2+2\frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 2 = - \frac{\sqrt{- x}}{- x - 2} + 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x)/(x-2)-2
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