Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3x-(|x-4|)/(x-4)

Gráfico de la función y = 3x-(|x-4|)/(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             |x - 4|
f(x) = 3*x - -------
              x - 4
f(x)=3x−∣x−4∣x−4f{\left(x \right)} = 3 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4} 
f = 3*x - |x - 4|/(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−∣x−4∣x−4=03 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Solución numérica
x1=−0.333333333333333x_{1} = -0.333333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*x - |x - 4|/(x - 4).
0⋅3−∣−4∣−40 \cdot 3 - \frac{\left|{-4}\right|}{-4}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3−sign⁡(x−4)x−4+∣x−4∣(x−4)2=03 - \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 4 \right)}}{x - 4} + \frac{\left|{x - 4}\right|}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−δ(x−4)+sign⁡(x−4)x−4−∣x−4∣(x−4)2)x−4=0\frac{2 \left(- \delta\left(x - 4\right) + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 4 \right)}}{x - 4} - \frac{\left|{x - 4}\right|}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−∣x−4∣x−4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(3 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x−∣x−4∣x−4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(3 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x - |x - 4|/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−∣x−4∣x−4x)=3\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4}}{x}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=3xy = 3 x
lim⁡x→∞(3x−∣x−4∣x−4x)=3\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4}}{x}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=3xy = 3 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−∣x−4∣x−4=−3x−∣x+4∣−x−43 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4} = - 3 x - \frac{\left|{x + 4}\right|}{- x - 4}
- No
3x−∣x−4∣x−4=3x+∣x+4∣−x−43 x - \frac{\left|{x - 4}\right|}{x - 4} = 3 x + \frac{\left|{x + 4}\right|}{- x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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