Sr Examen

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cbrt((5x-3)*(25x^2-30x+6))
Trazado el gráfico de la función/ cbrt((5x-3)*(25x^2-30x+6))

Gráfico de la función y = cbrt((5x-3)*(25x^2-30x+6))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________________________
       3 /           /    2           \ 
f(x) = \/  (5*x - 3)*\25*x  - 30*x + 6/
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)}$$ 
f = ((5*x - 3)*(25*x^2 - 30*x + 6))^(1/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{5} - \frac{\sqrt[3]{i}}{5} - \frac{1}{5 \sqrt[3]{i}}$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((5*x - 3)*(25*x^2 - 30*x + 6))^(1/3).
$$\sqrt[3]{\left(-3 + 0 \cdot 5\right) \left(\left(25 \cdot 0^{2} - 0\right) + 6\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{-18}$$
Punto:
(0, (-18)^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} \left(\frac{\left(5 x - 3\right) \left(50 x - 30\right)}{3} + \frac{5 \left(25 x^{2} - 30 x\right)}{3} + 10\right)}{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((5*x - 3)*(25*x^2 - 30*x + 6))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)}}{x}\right) = - 5 \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 5 \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)}}{x}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 5 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} = \sqrt[3]{\left(- 5 x - 3\right) \left(25 x^{2} + 30 x + 6\right)}$$
- No
$$\sqrt[3]{\left(5 x - 3\right) \left(\left(25 x^{2} - 30 x\right) + 6\right)} = - \sqrt[3]{\left(- 5 x - 3\right) \left(25 x^{2} + 30 x + 6\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cbrt((5x-3)*(25x^2-30x+6))
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