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y=2x^3-3x^2-5
Trazado el gráfico de la función/ y=2x^3-3x^2-5

Gráfico de la función y = y=2x^3-3x^2-5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2    
f(x) = 2*x  - 3*x  - 5
f(x)=(2x3−3x2)−5f{\left(x \right)} = \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5 
f = 2*x^3 - 3*x^2 - 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2x3−3x2)−5=0\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=14304+1183+12+304+1183x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{30}}{4} + \frac{11}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{30}}{4} + \frac{11}{8}}
Solución numérica
x1=2.07861688850876x_{1} = 2.07861688850876
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^3 - 3*x^2 - 5.
−5+(2⋅03−3⋅02)-5 + \left(2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−5f{\left(0 \right)} = -5
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2−6x=06 x^{2} - 6 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, -5)

(1, -6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,1]\left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(2x−1)=06 \left(2 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2x3−3x2)−5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2x3−3x2)−5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^3 - 3*x^2 - 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x3−3x2)−5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2x3−3x2)−5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2x3−3x2)−5=−2x3−3x2−5\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5 = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 5
- No
(2x3−3x2)−5=2x3+3x2+5\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) - 5 = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=2x^3-3x^2-5
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