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ln(abs(x))+ln(abs(x)+1)
Trazado el gráfico de la función/ ln(abs(x))+ln(abs(x)+1)

Gráfico de la función y = ln(abs(x))+ln(abs(x)+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(|x|) + log(|x| + 1)
f(x)=log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)} 
f = log(|x| + 1) + log(|x|)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)=0\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12+52x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12−52x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
Solución numérica
x1=−0.618033988749895x_{1} = -0.618033988749895
x2=0.618033988749895x_{2} = 0.618033988749895
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(|x|) + log(|x| + 1).
log⁡(∣0∣)+log⁡(∣0∣+1)\log{\left(\left|{0}\right| \right)} + \log{\left(\left|{0}\right| + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x)∣x∣+sign⁡(x)∣x∣+1=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(|x|) + log(|x| + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)=log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Sí
log⁡(∣x∣+1)+log⁡(∣x∣)=−log⁡(∣x∣+1)−log⁡(∣x∣)\log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} - \log{\left(\left|{x}\right| \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(abs(x))+ln(abs(x)+1)
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