Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos^2(x)

Gráfico de la función y = cos^2(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2   
f(x) = cos (x)
f(x)=cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡2(x)=0\cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−1.57079642969308x_{1} = -1.57079642969308
x2=10.9955740392793x_{2} = 10.9955740392793
x3=36.1283156002139x_{3} = 36.1283156002139
x4=−48.6946858738636x_{4} = -48.6946858738636
x5=−26.7035372990183x_{5} = -26.7035372990183
x6=−67.5442421675773x_{6} = -67.5442421675773
x7=−61.2610569641117x_{7} = -61.2610569641117
x8=−76.9690198771149x_{8} = -76.9690198771149
x9=61.2610569989704x_{9} = 61.2610569989704
x10=45.553093700501x_{10} = 45.553093700501
x11=−4.71238872430683x_{11} = -4.71238872430683
x12=92.6769830795146x_{12} = 92.6769830795146
x13=−61.2610562242523x_{13} = -61.2610562242523
x14=−80.1106125795659x_{14} = -80.1106125795659
x15=−36.1283154192437x_{15} = -36.1283154192437
x16=−54.9778713137198x_{16} = -54.9778713137198
x17=17.2787595624179x_{17} = 17.2787595624179
x18=17.2787598502655x_{18} = 17.2787598502655
x19=98.9601683381274x_{19} = 98.9601683381274
x20=29.845130320338x_{20} = 29.845130320338
x21=14.1371671048484x_{21} = 14.1371671048484
x22=32.9867226137576x_{22} = 32.9867226137576
x23=−70.685834448838x_{23} = -70.685834448838
x24=73.8274274795554x_{24} = 73.8274274795554
x25=−54.9778716831146x_{25} = -54.9778716831146
x26=10.9955743696636x_{26} = 10.9955743696636
x27=26.7035373461441x_{27} = 26.7035373461441
x28=−92.6769831823972x_{28} = -92.6769831823972
x29=4.71238876848081x_{29} = 4.71238876848081
x30=−51.8362786897497x_{30} = -51.8362786897497
x31=−39.2699083866483x_{31} = -39.2699083866483
x32=−98.96016883042x_{32} = -98.96016883042
x33=95.8185760590309x_{33} = 95.8185760590309
x34=39.2699081179815x_{34} = 39.2699081179815
x35=−95.8185758681287x_{35} = -95.8185758681287
x36=541.924732890135x_{36} = 541.924732890135
x37=32.986722928111x_{37} = 32.986722928111
x38=58.1194644379895x_{38} = 58.1194644379895
x39=−92.6769830239371x_{39} = -92.6769830239371
x40=−83.2522055415057x_{40} = -83.2522055415057
x41=−42.4115006098842x_{41} = -42.4115006098842
x42=−29.8451300963672x_{42} = -29.8451300963672
x43=−14.1371668392726x_{43} = -14.1371668392726
x44=67.5442422779275x_{44} = 67.5442422779275
x45=1.5707965454425x_{45} = 1.5707965454425
x46=−39.2699081528781x_{46} = -39.2699081528781
x47=−70.6858346386357x_{47} = -70.6858346386357
x48=−98.9601684414698x_{48} = -98.9601684414698
x49=−20.4203520321877x_{49} = -20.4203520321877
x50=98.9601685932308x_{50} = 98.9601685932308
x51=64.4026493086922x_{51} = 64.4026493086922
x52=54.9778711883962x_{52} = 54.9778711883962
x53=20.4203521497111x_{53} = 20.4203521497111
x54=−17.2787598091171x_{54} = -17.2787598091171
x55=−17.2787590276524x_{55} = -17.2787590276524
x56=76.9690207492347x_{56} = 76.9690207492347
x57=−64.4026491876462x_{57} = -64.4026491876462
x58=23.5619451230057x_{58} = 23.5619451230057
x59=48.6946859238715x_{59} = 48.6946859238715
x60=−32.9867231091652x_{60} = -32.9867231091652
x61=−32.9867227513827x_{61} = -32.9867227513827
x62=−7.85398149857354x_{62} = -7.85398149857354
x63=80.1106131434937x_{63} = 80.1106131434937
x64=−86.393797765473x_{64} = -86.393797765473
x65=−26.7035375427973x_{65} = -26.7035375427973
x66=23.5619449395428x_{66} = 23.5619449395428
x67=−98.960168684456x_{67} = -98.960168684456
x68=89.5353908552844x_{68} = 89.5353908552844
x69=−76.9690202568697x_{69} = -76.9690202568697
x70=−45.5530935883361x_{70} = -45.5530935883361
x71=70.6858345016621x_{71} = 70.6858345016621
x72=39.2699084246933x_{72} = 39.2699084246933
x73=76.9690200400775x_{73} = 76.9690200400775
x74=76.9690197631883x_{74} = 76.9690197631883
x75=54.9778714849733x_{75} = 54.9778714849733
x76=83.2522052340866x_{76} = 83.2522052340866
x77=−23.5619450090417x_{77} = -23.5619450090417
x78=−10.9955745350309x_{78} = -10.9955745350309
x79=61.2610566752601x_{79} = 61.2610566752601
x80=−48.6946860920117x_{80} = -48.6946860920117
x81=−89.5353907467661x_{81} = -89.5353907467661
x82=42.4115007291722x_{82} = 42.4115007291722
x83=80.1106126771746x_{83} = 80.1106126771746
x84=−73.8274272800405x_{84} = -73.8274272800405
x85=51.8362788999928x_{85} = 51.8362788999928
x86=−58.1194639993376x_{86} = -58.1194639993376
x87=86.393797888273x_{87} = 86.393797888273
x88=−4.7123889912442x_{88} = -4.7123889912442
x89=7.85398174058521x_{89} = 7.85398174058521
x90=−10.9955741902138x_{90} = -10.9955741902138
x91=83.2522055730903x_{91} = 83.2522055730903
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^2.
cos⁡2(0)\cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))=02 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡2(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡2(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡2(x)=cos⁡2(x)\cos^{2}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡2(x)=−cos⁡2(x)\cos^{2}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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