Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(x^2+5x+6)

Gráfico de la función y = 1/(x^2+5x+6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1      
f(x) = ------------
        2          
       x  + 5*x + 6
f(x)=1(x2+5x)+6f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} 
f = 1/(x^2 + 5*x + 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(x2+5x)+6=0\frac{1}{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x^2 + 5*x + 6).
1(02+0⋅5)+6\frac{1}{\left(0^{2} + 0 \cdot 5\right) + 6}
Resultado:
f(0)=16f{\left(0 \right)} = \frac{1}{6}
Punto:
(0, 1/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−5((x2+5x)+6)2=0\frac{- 2 x - 5}{\left(\left(x^{2} + 5 x\right) + 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-5/2, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−52]\left(-\infty, - \frac{5}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−52,∞)\left[- \frac{5}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((2x+5)2x2+5x+6−1)(x2+5x+6)2=0\frac{2 \left(\frac{\left(2 x + 5\right)^{2}}{x^{2} + 5 x + 6} - 1\right)}{\left(x^{2} + 5 x + 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1(x2+5x)+6=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1(x2+5x)+6=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x^2 + 5*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x((x2+5x)+6))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\left(x^{2} + 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x((x2+5x)+6))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\left(x^{2} + 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(x2+5x)+6=1x2−5x+6\frac{1}{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}
- No
1(x2+5x)+6=−1x2−5x+6\frac{1}{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = - \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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