Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3
-
4*x
-
sqrt(x-1)
-
cos(pi*x)
-
Expresiones idénticas
- (3x^ dos - dos x- uno)/((x^ dos - cuatro)*(x+2))
- (3x al cuadrado menos 2x menos 1) dividir por ((x al cuadrado menos 4) multiplicar por (x más 2))
- (3x en el grado dos menos dos x menos uno) dividir por ((x en el grado dos menos cuatro) multiplicar por (x más 2))
- (3x2-2x-1)/((x2-4)*(x+2))
- 3x2-2x-1/x2-4*x+2
- (3x²-2x-1)/((x²-4)*(x+2))
- (3x en el grado 2-2x-1)/((x en el grado 2-4)*(x+2))
- (3x^2-2x-1)/((x^2-4)(x+2))
- (3x2-2x-1)/((x2-4)(x+2))
- 3x2-2x-1/x2-4x+2
- 3x^2-2x-1/x^2-4x+2
- (3x^2-2x-1) dividir por ((x^2-4)*(x+2))
-
Expresiones semejantes
- (3x^2-2x+1)/((x^2-4)*(x+2))
- (3x^2-2x-1)/((x^2-4)*(x-2))
- (3x^2-2x-1)/((x^2+4)*(x+2))
- (3x^2+2x-1)/((x^2-4)*(x+2))
Gráfico de la función y = (3x^2-2x-1)/((x^2-4)*(x+2))
Solución
Ha introducido
[src]
2
3*x - 2*x - 1
f(x) = ----------------
/ 2 \
\x - 4/*(x + 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
f = (3*x^2 - 2*x - 1)/(((x + 2)*(x^2 - 4)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1\right) \left(- x^{2} - 2 x \left(x + 2\right) + 4\right)}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(6 x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1\right) \left(- x^{2} - 2 x \left(x + 2\right) + 4\right)}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(6 x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ __________________ \ __________________
| / _______ | / _______
| / 1646 \/ 57561 | / 1646 \/ 57561
| 3 / ---- + --------- | 2*3 / ---- + ---------
29 |10 \/ 27 3 125 | 250 \/ 27 3
- -- + 3*|-- - ----------------------- + --------------------------| - -------------------------- + -------------------------
__________________ 9 |9 3 __________________| __________________ 3
/ _______ | / _______ | / _______
/ 1646 \/ 57561 | / 1646 \/ 57561 | / 1646 \/ 57561
3 / ---- + --------- | 27*3 / ---- + --------- | 27*3 / ---- + ---------
10 \/ 27 3 125 \ \/ 27 3 / \/ 27 3
(-- - ----------------------- + --------------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
9 3 __________________ / 2\
/ _______ | / __________________ \ | / __________________ \
/ 1646 \/ 57561 | | / _______ | | | / _______ |
27*3 / ---- + --------- | | / 1646 \/ 57561 | | | / 1646 \/ 57561 |
\/ 27 3 | | 3 / ---- + --------- | | | 3 / ---- + --------- |
| |10 \/ 27 3 125 | | |28 \/ 27 3 125 |
|-4 + |-- - ----------------------- + --------------------------| |*|-- - ----------------------- + --------------------------|
| |9 3 __________________| | |9 3 __________________|
| | / _______ | | | / _______ |
| | / 1646 \/ 57561 | | | / 1646 \/ 57561 |
| | 27*3 / ---- + --------- | | | 27*3 / ---- + --------- |
\ \ \/ 27 3 / / \ \/ 27 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}}{3} + \frac{125}{27 \sqrt[3]{\frac{1646}{27} + \frac{\sqrt{57561}}{3}}} + \frac{10}{9}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 - \frac{4 \left(3 x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4\right)}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} - \frac{\left(- 3 x^{2} + 2 x + 1\right) \left(- 6 x + \frac{2 x \left(x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4\right)}{x^{2} - 4} + \left(\frac{2 x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}\right) \left(x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4\right) - 4 + \frac{x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 - \frac{4 \left(3 x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4\right)}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} - \frac{\left(- 3 x^{2} + 2 x + 1\right) \left(- 6 x + \frac{2 x \left(x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4\right)}{x^{2} - 4} + \left(\frac{2 x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}\right) \left(x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4\right) - 4 + \frac{x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 4}{x + 2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^2 - 2*x - 1)/(((x^2 - 4)*(x + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- No
$$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = - \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- No
$$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) - 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = - \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar