Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-3x-3)/(2x-2)

Gráfico de la función y = (x^2-3x-3)/(2x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 3*x - 3
f(x) = ------------
         2*x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{2 x - 2}$$ 
f = (x^2 - 3*x - 3)/(2*x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{2 x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.79128784747792$$
$$x_{2} = -0.79128784747792$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 3*x - 3)/(2*x - 2).
$$\frac{-3 + \left(0^{2} - 0\right)}{-2 + 0 \cdot 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}$$
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 3}{2 x - 2} - \frac{2 \left(\left(x^{2} - 3 x\right) - 3\right)}{\left(2 x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{1 - \frac{2 x - 3}{x - 1} - \frac{- x^{2} + 3 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{2 x - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{2 x - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 3*x - 3)/(2*x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{x \left(2 x - 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{x \left(2 x - 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{2 x - 2} = \frac{x^{2} + 3 x - 3}{- 2 x - 2}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 3}{2 x - 2} = - \frac{x^{2} + 3 x - 3}{- 2 x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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