Sr Examen

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exp(-2*x)*(x+1)
Trazado el gráfico de la función/ exp(-2*x)*(x+1)

Gráfico de la función y = exp(-2*x)*(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -2*x        
f(x) = e    *(x + 1)
f(x)=(x+1)e−2xf{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) e^{- 2 x} 
f = (x + 1)*exp(-2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000000005000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)e−2x=0\left(x + 1\right) e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=24.9472162397279x_{1} = 24.9472162397279
x2=90.7367428641377x_{2} = 90.7367428641377
x3=38.8322789111555x_{3} = 38.8322789111555
x4=106.727075306218x_{4} = 106.727075306218
x5=108.726077101889x_{5} = 108.726077101889
x6=52.7858695601634x_{6} = 52.7858695601634
x7=80.744867564022x_{7} = 80.744867564022
x8=64.7635580514383x_{8} = 64.7635580514383
x9=68.7580004944523x_{9} = 68.7580004944523
x10=54.7813963486339x_{10} = 54.7813963486339
x11=110.725116752175x_{11} = 110.725116752175
x12=48.7960575646516x_{12} = 48.7960575646516
x13=44.8083248519552x_{13} = 44.8083248519552
x14=46.8018932907923x_{14} = 46.8018932907923
x15=98.7314953027256x_{15} = 98.7314953027256
x16=84.7413721608517x_{16} = 84.7413721608517
x17=86.7397532581931x_{17} = 86.7397532581931
x18=19.0748429547998x_{18} = 19.0748429547998
x19=22.9793660972884x_{19} = 22.9793660972884
x20=36.8423192425575x_{20} = 36.8423192425575
x21=62.7666276312008x_{21} = 62.7666276312008
x22=76.7487545895484x_{22} = 76.7487545895484
x23=88.7382119783469x_{23} = 88.7382119783469
x24=−1.00000000000002x_{24} = -1.00000000000002
x25=28.8999794563979x_{25} = 28.8999794563979
x26=92.7353409586734x_{26} = 92.7353409586734
x27=42.8154488929449x_{27} = 42.8154488929449
x28=−1x_{28} = -1
x29=58.7734577077894x_{29} = 58.7734577077894
x30=102.729194605611x_{30} = 102.729194605611
x31=60.7699191705335x_{31} = 60.7699191705335
x32=32.8668630155044x_{32} = 32.8668630155044
x33=50.7907382716567x_{33} = 50.7907382716567
x34=100.730320853278x_{34} = 100.730320853278
x35=66.7606886725095x_{35} = 66.7606886725095
x36=15.2664071699171x_{36} = 15.2664071699171
x37=74.750866150933x_{37} = 74.750866150933
x38=21.0204168645089x_{38} = 21.0204168645089
x39=78.7467581174956x_{39} = 78.7467581174956
x40=40.8233842784938x_{40} = 40.8233842784938
x41=82.7430747086043x_{41} = 82.7430747086043
x42=70.7554768515962x_{42} = 70.7554768515962
x43=72.7531030642314x_{43} = 72.7531030642314
x44=96.7327211186562x_{44} = 96.7327211186562
x45=17.1509341395474x_{45} = 17.1509341395474
x46=34.8537438173178x_{46} = 34.8537438173178
x47=30.8820886141341x_{47} = 30.8820886141341
x48=94.7340017492518x_{48} = 94.7340017492518
x49=104.72811364994x_{49} = 104.72811364994
x50=56.7772722047327x_{50} = 56.7772722047327
x51=26.9213146551643x_{51} = 26.9213146551643
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-2*x)*(x + 1).
e−0e^{- 0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(x+1)e−2x+e−2x=0- 2 \left(x + 1\right) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
       E 
(-1/2, -)
       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4xe−2x=04 x e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)e−2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) e^{- 2 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)e−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) e^{- 2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-2*x)*(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)e−2xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{- 2 x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+1)e−2xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{- 2 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)e−2x=(1−x)e2x\left(x + 1\right) e^{- 2 x} = \left(1 - x\right) e^{2 x}
- No
(x+1)e−2x=−(1−x)e2x\left(x + 1\right) e^{- 2 x} = - \left(1 - x\right) e^{2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-2*x)*(x+1)
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