Sr Examen

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exp(1-t)/(-1+exp(1-t))
Trazado el gráfico de la función/ exp(1-t)/(-1+exp(1-t))

Gráfico de la función y = exp(1-t)/(-1+exp(1-t))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1 - t  
          e       
f(t) = -----------
             1 - t
       -1 + e
$$f{\left(t \right)} = \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1}$$ 
f = exp(1 - t)/(exp(1 - t) - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$t_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en exp(1 - t)/(-1 + exp(1 - t)).
$$\frac{e^{1 - 0}}{-1 + e^{1 - 0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{e}{-1 + e}$$
Punto:
(0, E/(-1 + E))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} + \frac{e^{2 - 2 t}}{\left(e^{1 - t} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{e^{1 - t} + \frac{\left(e^{1 - t} + \frac{2 e^{2 - 2 t}}{1 - e^{1 - t}}\right) e^{1 - t}}{1 - e^{1 - t}} + \frac{2 e^{2 - 2 t}}{1 - e^{1 - t}}}{1 - e^{1 - t}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$t_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1 - t)/(-1 + exp(1 - t)), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{t \left(e^{1 - t} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{t \left(e^{1 - t} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} = \frac{e^{t + 1}}{e^{t + 1} - 1}$$
- No
$$\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} = - \frac{e^{t + 1}}{e^{t + 1} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(1-t)/(-1+exp(1-t))
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