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exp(1-t)/(-1+exp(1-t))
Trazado el gráfico de la función/ exp(1-t)/(-1+exp(1-t))

Gráfico de la función y = exp(1-t)/(-1+exp(1-t))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1 - t  
          e       
f(t) = -----------
             1 - t
       -1 + e
f(t)=e1−te1−t−1f{\left(t \right)} = \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} 
f = exp(1 - t)/(exp(1 - t) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
t1=1t_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1−te1−t−1=0\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en exp(1 - t)/(-1 + exp(1 - t)).
e1−0−1+e1−0\frac{e^{1 - 0}}{-1 + e^{1 - 0}}
Resultado:
f(0)=e−1+ef{\left(0 \right)} = \frac{e}{-1 + e}
Punto:
(0, E/(-1 + E))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
−e1−te1−t−1+e2−2t(e1−t−1)2=0- \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} + \frac{e^{2 - 2 t}}{\left(e^{1 - t} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−e1−t+(e1−t+2e2−2t1−e1−t)e1−t1−e1−t+2e2−2t1−e1−t1−e1−t=0- \frac{e^{1 - t} + \frac{\left(e^{1 - t} + \frac{2 e^{2 - 2 t}}{1 - e^{1 - t}}\right) e^{1 - t}}{1 - e^{1 - t}} + \frac{2 e^{2 - 2 t}}{1 - e^{1 - t}}}{1 - e^{1 - t}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
t1=1t_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(e1−te1−t−1)=1\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡t→∞(e1−te1−t−1)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1 - t)/(-1 + exp(1 - t)), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(e1−tt(e1−t−1))=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{t \left(e^{1 - t} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(e1−tt(e1−t−1))=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{1 - t}}{t \left(e^{1 - t} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
e1−te1−t−1=et+1et+1−1\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} = \frac{e^{t + 1}}{e^{t + 1} - 1}
- No
e1−te1−t−1=−et+1et+1−1\frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} - 1} = - \frac{e^{t + 1}}{e^{t + 1} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(1-t)/(-1+exp(1-t))
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