Sr Examen

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Gráfico de la función y = exp(2*x)-4*exp(x)+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2*x      x    
f(x) = e    - 4*e  + 6
$$f{\left(x \right)} = \left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6$$
f = exp(2*x) - 4*exp(x) + 6
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(2*x) - 4*exp(x) + 6.
$$\left(- 4 e^{0} + e^{0 \cdot 2}\right) + 6$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 e^{2 x} - 4 e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(2 \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(log(2), 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \log{\left(2 \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\log{\left(2 \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(2 \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(e^{x} - 1\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6\right) = 6$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(2*x) - 4*exp(x) + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 = 6 - 4 e^{- x} + e^{- 2 x}$$
- No
$$\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 = -6 + 4 e^{- x} - e^{- 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar