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Trazado el gráfico de la función/ exp(2*x)-4*exp(x)+6

Gráfico de la función y = exp(2*x)-4*exp(x)+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2*x      x    
f(x) = e    - 4*e  + 6
f(x)=(e2x−4ex)+6f{\left(x \right)} = \left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 
f = exp(2*x) - 4*exp(x) + 6
Gráfico de la función
0.003.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.750500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(e2x−4ex)+6=0\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(2*x) - 4*exp(x) + 6.
(−4e0+e0⋅2)+6\left(- 4 e^{0} + e^{0 \cdot 2}\right) + 6
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2e2x−4ex=02 e^{2 x} - 4 e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(2)x_{1} = \log{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(log(2), 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=log⁡(2)x_{1} = \log{\left(2 \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[log⁡(2),∞)\left[\log{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,log⁡(2)]\left(-\infty, \log{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(ex−1)ex=04 \left(e^{x} - 1\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((e2x−4ex)+6)=6\lim_{x \to -\infty}\left(\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6\right) = 6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=6y = 6
lim⁡x→∞((e2x−4ex)+6)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(2*x) - 4*exp(x) + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((e2x−4ex)+6x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((e2x−4ex)+6x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(e2x−4ex)+6=6−4e−x+e−2x\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 = 6 - 4 e^{- x} + e^{- 2 x}
- No
(e2x−4ex)+6=−6+4e−x−e−2x\left(e^{2 x} - 4 e^{x}\right) + 6 = -6 + 4 e^{- x} - e^{- 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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