Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(-t^2/128)

Gráfico de la función y = exp(-t^2/128)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2 
        -t  
        ----
        128 
f(t) = e
f(t)=e(−1)t2128f{\left(t \right)} = e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}} 
f = exp((-t^2)/128)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e(−1)t2128=0e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en exp((-t^2)/128).
e(−1)02128e^{\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{128}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
−te(−1)t212864=0- \frac{t e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}}}{64} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
(t2−64)e−t21284096=0\frac{\left(t^{2} - 64\right) e^{- \frac{t^{2}}{128}}}{4096} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−8t_{1} = -8
t2=8t_{2} = 8

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−8]∪[8,∞)\left(-\infty, -8\right] \cup \left[8, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−8,8]\left[-8, 8\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞e(−1)t2128=0\lim_{t \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡t→∞e(−1)t2128=0\lim_{t \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp((-t^2)/128), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(e(−1)t2128t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(e(−1)t2128t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
e(−1)t2128=e(−1)t2128e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}} = e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}}
- Sí
e(−1)t2128=−e(−1)t2128e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}} = - e^{\frac{\left(-1\right) t^{2}}{128}}
- No
es decir, función
es
par
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