Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
e^(-3*x)
-
2-3x+x^3
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
((1+x)/(1-x))^4
-
Expresiones idénticas
- x^ dos + dos x- quince /(x+ quince)^2
- x al cuadrado más 2x menos 15 dividir por (x más 15) al cuadrado
- x en el grado dos más dos x menos quince dividir por (x más quince) al cuadrado
- x2+2x-15/(x+15)2
- x2+2x-15/x+152
- x²+2x-15/(x+15)²
- x en el grado 2+2x-15/(x+15) en el grado 2
- x^2+2x-15/x+15^2
- x^2+2x-15 dividir por (x+15)^2
-
Expresiones semejantes
- x^2+2x+15/(x+15)^2
- x^2+2x-15/(x-15)^2
- x^2-2x-15/(x+15)^2
Gráfico de la función y = x^2+2x-15/(x+15)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 15
f(x) = x + 2*x - ---------
2
(x + 15)
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}$$
f = x^2 + 2*x - 15/(x + 15)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -15$$
$$x_{1} = -15$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -8 - \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} - \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2}$$
$$x_{2} = -8 - \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} - \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2}$$
$$x_{3} = -8 - \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} + \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2}$$
$$x_{4} = -8 + \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} + \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -8 - \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2} - \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} - \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2}$$
$$x_{2} = -8 - \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2} + \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} - \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2}$$
$$x_{3} = -8 - \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} + \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2}$$
$$x_{4} = -8 + \frac{\sqrt{132 - 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}} + \frac{28}{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}} - \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}}{2} + \frac{\sqrt{66 + \frac{4205}{2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{272645}{8} + \frac{5 \sqrt{176191} i}{4}}}}{2}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{15 \left(- 2 x - 30\right)}{\left(x + 15\right)^{4}} + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}\right] \cup \left[- \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}, - \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{15 \left(- 2 x - 30\right)}{\left(x + 15\right)^{4}} + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_____________________________________________________________________________________________________________________________________ / _____________________________________________________________________________________________________________________________________\
/ ___________________ | / ___________________ |
/ / _______ | / / _______ |
/ 10 / 735 5*\/ 21529 686 | / 10 / 735 5*\/ 21529 686 |
/ 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- | / 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- |
____________________________________________________________ / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ | ____________________________________________________________ / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ |
/ ___________________ / / _______ / ___________________ | / ___________________ / / _______ / ___________________ |
/ / _______ / / 735 5*\/ 21529 / / _______ | / / _______ / / 735 5*\/ 21529 / / _______ |
/ / 735 5*\/ 21529 10 / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 | / / 735 5*\/ 21529 10 / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 |
/ 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ | / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ |
/ \/ 4 4 ___________________ / / \/ 4 4 ___________________ | / \/ 4 4 ___________________ / / \/ 4 4 ___________________ |
/ / _______ / / / _______ ____________________________________________________________ | / / _______ / / / _______ | _____________________________________________________________________________________________________________________________________
/ / 735 5*\/ 21529 / / / 735 5*\/ 21529 / ___________________ | / / 735 5*\/ 21529 / / / 735 5*\/ 21529 | / ___________________
/ 3 / --- + ----------- / / 3 / --- + ----------- / / _______ | / 3 / --- + ----------- / / 3 / --- + ----------- | / / _______
23 \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 / / 735 5*\/ 21529 10 | 23 \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 | / 10 / 735 5*\/ 21529 686 15
(- -- + ---------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, -23 + / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ + |- -- + ---------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + / 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 2 / \/ 4 4 ___________________ \ 2 2 2 / / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ 2
/ / _______ / / _______ / ___________________ / _____________________________________________________________________________________________________________________________________\
/ / 735 5*\/ 21529 / / 735 5*\/ 21529 / / _______ | / ___________________ |
/ 3 / --- + ----------- / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 | / / _______ |
\/ \/ 4 4 / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ | / 10 / 735 5*\/ 21529 686 |
/ / \/ 4 4 ___________________ | / 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- |
/ / / _______ | ____________________________________________________________ / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ |
/ / / 735 5*\/ 21529 | / ___________________ / / _______ / ___________________ |
/ / 3 / --- + ----------- | / / _______ / / 735 5*\/ 21529 / / _______ |
\/ \/ \/ 4 4 | / / 735 5*\/ 21529 10 / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 |
| / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ |
| / \/ 4 4 ___________________ / / \/ 4 4 ___________________ |
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| / / 735 5*\/ 21529 / / / 735 5*\/ 21529 |
| / 3 / --- + ----------- / / 3 / --- + ----------- |
|7 \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 |
|- + ---------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\2 2 2 / 2
_____________________________________________________________________________________________________________________________________ / _____________________________________________________________________________________________________________________________________\
/ ___________________ | / ___________________ |
/ / _______ | / / _______ |
/ 10 / 735 5*\/ 21529 686 | / 10 / 735 5*\/ 21529 686 |
/ 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- | / 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- |
____________________________________________________________ / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ | ____________________________________________________________ / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ |
/ ___________________ / / _______ / ___________________ | / ___________________ / / _______ / ___________________ |
/ / _______ / / 735 5*\/ 21529 / / _______ | / / _______ / / 735 5*\/ 21529 / / _______ |
/ / 735 5*\/ 21529 10 / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 | / / 735 5*\/ 21529 10 / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 |
/ 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ | / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ |
/ \/ 4 4 ___________________ / / \/ 4 4 ___________________ | / \/ 4 4 ___________________ / / \/ 4 4 ___________________ |
/ / _______ / / / _______ ____________________________________________________________ | / / _______ / / / _______ | _____________________________________________________________________________________________________________________________________
/ / 735 5*\/ 21529 / / / 735 5*\/ 21529 / ___________________ | / / 735 5*\/ 21529 / / / 735 5*\/ 21529 | / ___________________
/ 3 / --- + ----------- / / 3 / --- + ----------- / / _______ | / 3 / --- + ----------- / / 3 / --- + ----------- | / / _______
23 \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 / / 735 5*\/ 21529 10 | 23 \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 | / 10 / 735 5*\/ 21529 686 15
(- -- + ---------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, -23 + / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ + |- -- + ---------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - / 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 2 / \/ 4 4 ___________________ \ 2 2 2 / / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ 2
/ / _______ / / _______ / ___________________ / _____________________________________________________________________________________________________________________________________\
/ / 735 5*\/ 21529 / / 735 5*\/ 21529 / / _______ | / ___________________ |
/ 3 / --- + ----------- / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 | / / _______ |
\/ \/ 4 4 / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ | / 10 / 735 5*\/ 21529 686 |
/ / \/ 4 4 ___________________ | / 98 - ------------------------ - 2*3 / --- + ----------- + ---------------------------------------------------------------------- |
/ / / _______ | ____________________________________________________________ / ___________________ \/ 4 4 ____________________________________________________________ |
/ / / 735 5*\/ 21529 | / ___________________ / / _______ / ___________________ |
/ / 3 / --- + ----------- | / / _______ / / 735 5*\/ 21529 / / _______ |
\/ \/ \/ 4 4 | / / 735 5*\/ 21529 10 / 3 / --- + ----------- / / 735 5*\/ 21529 10 |
| / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ / \/ 4 4 / 49 + 2*3 / --- + ----------- + ------------------------ |
| / \/ 4 4 ___________________ / / \/ 4 4 ___________________ |
| / / _______ / / / _______ |
| / / 735 5*\/ 21529 / / / 735 5*\/ 21529 |
| / 3 / --- + ----------- / / 3 / --- + ----------- |
|7 \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 |
|- + ---------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\2 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}\right] \cup \left[- \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{23}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2}, - \frac{23}{2} + \frac{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} - \frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + \frac{686}{\sqrt{\frac{10}{\sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{5 \sqrt{21529}}{4} + \frac{735}{4}} + 49}} + 98}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{45}{\left(x + 15\right)^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -15 - \sqrt{3} \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = -15 + \sqrt{3} \sqrt[4]{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -15$$
$$\lim_{x \to -15^-}\left(2 \left(1 - \frac{45}{\left(x + 15\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -15^+}\left(2 \left(1 - \frac{45}{\left(x + 15\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -15 - \sqrt{3} \sqrt[4]{5}\right] \cup \left[-15 + \sqrt{3} \sqrt[4]{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-15 - \sqrt{3} \sqrt[4]{5}, -15 + \sqrt{3} \sqrt[4]{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{45}{\left(x + 15\right)^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -15 - \sqrt{3} \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = -15 + \sqrt{3} \sqrt[4]{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -15$$
$$\lim_{x \to -15^-}\left(2 \left(1 - \frac{45}{\left(x + 15\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -15^+}\left(2 \left(1 - \frac{45}{\left(x + 15\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -15 - \sqrt{3} \sqrt[4]{5}\right] \cup \left[-15 + \sqrt{3} \sqrt[4]{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-15 - \sqrt{3} \sqrt[4]{5}, -15 + \sqrt{3} \sqrt[4]{5}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -15$$
$$x_{1} = -15$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 + 2*x - 15/(x + 15)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}} = x^{2} - 2 x - \frac{15}{\left(15 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}} = - x^{2} + 2 x + \frac{15}{\left(15 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}} = x^{2} - 2 x - \frac{15}{\left(15 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\left(x^{2} + 2 x\right) - \frac{15}{\left(x + 15\right)^{2}} = - x^{2} + 2 x + \frac{15}{\left(15 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar