Sr Examen

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4/(2-2^(2/(x-1)))
Trazado el gráfico de la función/ 4/(2-2^(2/(x-1)))

Gráfico de la función y = 4/(2-2^(2/(x-1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           4     
f(x) = ----------
              2  
            -----
            x - 1
       2 - 2
f(x)=42−22x−1f{\left(x \right)} = \frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}} 
f = 4/(2 - 2^(2/(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
42−22x−1=0\frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4/(2 - 2^(2/(x - 1))).
42−22−1\frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{-1}}}
Resultado:
f(0)=167f{\left(0 \right)} = \frac{16}{7}
Punto:
(0, 16/7)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8⋅22x−1log⁡(2)(2−22x−1)2(x−1)2=0- \frac{8 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \log{\left(2 \right)}}{\left(2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16⋅22x−1(−2⋅22x−1log⁡(2)(22x−1−2)(x−1)+1+log⁡(2)x−1)log⁡(2)(22x−1−2)2(x−1)3=0\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \left(- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right) \left(x - 1\right)} + 1 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x - 1}\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−38532.7893486535x_{1} = -38532.7893486535
x2=41145.4097090771x_{2} = 41145.4097090771
x3=−29209.7592096213x_{3} = -29209.7592096213
x4=−43618.193828858x_{4} = -43618.193828858
x5=−31752.3659835821x_{5} = -31752.3659835821
x6=−34295.0047898078x_{6} = -34295.0047898078
x7=29279.555518051x_{7} = 29279.555518051
x8=−35142.5569178932x_{8} = -35142.5569178932
x9=−41923.0528094267x_{9} = -41923.0528094267
x10=34364.8727423987x_{10} = 34364.8727423987
x11=−25819.6841059578x_{11} = -25819.6841059578
x12=−27514.7104780462x_{12} = -27514.7104780462
x13=−30057.2907118573x_{13} = -30057.2907118573
x14=27584.4736215837x_{14} = 27584.4736215837
x15=−21582.2533259141x_{15} = -21582.2533259141
x16=−39380.3526310917x_{16} = -39380.3526310917
x17=40297.8373355874x_{17} = 40297.8373355874
x18=−24124.6851396966x_{18} = -24124.6851396966
x19=−36837.6686947593x_{19} = -36837.6686947593
x20=−37685.2279902644x_{20} = -37685.2279902644
x21=−22429.7202671151x_{21} = -22429.7202671151
x22=32669.7568459492x_{22} = 32669.7568459492
x23=20804.3373104301x_{23} = 20804.3373104301
x24=26736.9383463644x_{24} = 26736.9383463644
x25=−28362.2323143767x_{25} = -28362.2323143767
x26=−20734.7985438237x_{26} = -20734.7985438237
x27=−24972.1808245504x_{27} = -24972.1808245504
x28=38602.6966166334x_{28} = 38602.6966166334
x29=−30904.8264214241x_{29} = -30904.8264214241
x30=22499.3346374688x_{30} = 22499.3346374688
x31=21651.8321313063x_{31} = 21651.8321313063
x32=33517.3136778415x_{32} = 33517.3136778415
x33=−42770.6226247368x_{33} = -42770.6226247368
x34=28432.0127854225x_{34} = 28432.0127854225
x35=31822.202416417x_{35} = 31822.202416417
x36=25041.8809442734x_{36} = 25041.8809442734
x37=−32599.9090823751x_{37} = -32599.9090823751
x38=24194.3596802209x_{38} = 24194.3596802209
x39=1.02267083633959x_{39} = 1.02267083633959
x40=0.159486032416962x_{40} = 0.159486032416962
x41=36059.9969670342x_{41} = 36059.9969670342
x42=37755.1284445414x_{42} = 37755.1284445414
x43=−26667.1942136441x_{43} = -26667.1942136441
x44=−40227.9177109279x_{44} = -40227.9177109279
x45=−35990.111614658x_{45} = -35990.111614658
x46=39450.2662770697x_{46} = 39450.2662770697
x47=23346.8440469135x_{47} = 23346.8440469135
x48=−33447.4554354714x_{48} = -33447.4554354714
x49=−41075.4844723869x_{49} = -41075.4844723869
x50=35212.4338855379x_{50} = 35212.4338855379
x51=25889.4073189777x_{51} = 25889.4073189777
x52=−23277.1979420514x_{52} = -23277.1979420514
x53=36907.5618589966x_{53} = 36907.5618589966
x54=30127.1015337708x_{54} = 30127.1015337708
x55=30974.6505765808x_{55} = 30974.6505765808
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→1−(16⋅22x−1(−2⋅22x−1log⁡(2)(22x−1−2)(x−1)+1+log⁡(2)x−1)log⁡(2)(22x−1−2)2(x−1)3)=0\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \left(- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right) \left(x - 1\right)} + 1 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x - 1}\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0
lim⁡x→1+(16⋅22x−1(−2⋅22x−1log⁡(2)(22x−1−2)(x−1)+1+log⁡(2)x−1)log⁡(2)(22x−1−2)2(x−1)3)=0\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \left(- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right) \left(x - 1\right)} + 1 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x - 1}\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→3−(16⋅22x−1(−2⋅22x−1log⁡(2)(22x−1−2)(x−1)+1+log⁡(2)x−1)log⁡(2)(22x−1−2)2(x−1)3)=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \left(- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right) \left(x - 1\right)} + 1 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x - 1}\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→3+(16⋅22x−1(−2⋅22x−1log⁡(2)(22x−1−2)(x−1)+1+log⁡(2)x−1)log⁡(2)(22x−1−2)2(x−1)3)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \left(- \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{x - 1}} \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right) \left(x - 1\right)} + 1 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x - 1}\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(2^{\frac{2}{x - 1}} - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=3x_{2} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.159486032416962,∞)\left[0.159486032416962, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.159486032416962]\left(-\infty, 0.159486032416962\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(42−22x−1)=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=4y = 4
lim⁡x→∞(42−22x−1)=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=4y = 4
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4/(2 - 2^(2/(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x(2−22x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x \left(2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4x(2−22x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
42−22x−1=42−22−x−1\frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}} = \frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{- x - 1}}}
- No
42−22x−1=−42−22−x−1\frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{x - 1}}} = - \frac{4}{2 - 2^{\frac{2}{- x - 1}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 4/(2-2^(2/(x-1)))
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