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Trazado el gráfico de la función/ x³-2x²+1

Gráfico de la función y = x³-2x²+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2    
f(x) = x  - 2*x  + 1
f(x)=(x3−2x2)+1f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1 
f = x^3 - 2*x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−2x2)+1=0\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=12−52x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x3=12+52x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Solución numérica
x1=−0.618033988749895x_{1} = -0.618033988749895
x2=1x_{2} = 1
x3=1.61803398874989x_{3} = 1.61803398874989
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 2*x^2 + 1.
(03−2⋅02)+1\left(0^{3} - 2 \cdot 0^{2}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−4x=03 x^{2} - 4 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(4/3, -5/27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[43,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,43]\left[0, \frac{4}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−2)=02 \left(3 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23,∞)\left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,23]\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3−2x2)+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−2x2)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 2*x^2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3−2x2)+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−2x2)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−2x2)+1=−x3−2x2+1\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1 = - x^{3} - 2 x^{2} + 1
- No
(x3−2x2)+1=x3+2x2−1\left(x^{3} - 2 x^{2}\right) + 1 = x^{3} + 2 x^{2} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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