Sr Examen

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4(x+1)^2/(x^2+2x+4)
Trazado el gráfico de la función/ 4(x+1)^2/(x^2+2x+4)

Gráfico de la función y = 4(x+1)^2/(x^2+2x+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2 
        4*(x + 1)  
f(x) = ------------
        2          
       x  + 2*x + 4
f(x)=4(x+1)2(x2+2x)+4f{\left(x \right)} = \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4} 
f = (4*(x + 1)^2)/(x^2 + 2*x + 4)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4(x+1)2(x2+2x)+4=0\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1.00000028042295x_{1} = -1.00000028042295
x2=−0.999999704762154x_{2} = -0.999999704762154
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*(x + 1)^2)/(x^2 + 2*x + 4).
4⋅12(02+0⋅2)+4\frac{4 \cdot 1^{2}}{\left(0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 4}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4(−2x−2)(x+1)2((x2+2x)+4)2+8x+8(x2+2x)+4=0\frac{4 \left(- 2 x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)^{2}} + \frac{8 x + 8}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8((x+1)2(4(x+1)2x2+2x+4−1)x2+2x+4−4(x+1)2x2+2x+4+1)x2+2x+4=0\frac{8 \left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 4} - 1\right)}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 4} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,0]\left[-2, 0\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4(x+1)2(x2+2x)+4)=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=4y = 4
lim⁡x→∞(4(x+1)2(x2+2x)+4)=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=4y = 4
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*(x + 1)^2)/(x^2 + 2*x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4(x+1)2x((x2+2x)+4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4(x+1)2x((x2+2x)+4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4(x+1)2(x2+2x)+4=4(1−x)2x2−2x+4\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4} = \frac{4 \left(1 - x\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 4}
- No
4(x+1)2(x2+2x)+4=−4(1−x)2x2−2x+4\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 4} = - \frac{4 \left(1 - x\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 4(x+1)^2/(x^2+2x+4)
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