Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x- uno)^ dos /(x+ uno)
- (x menos 1) al cuadrado dividir por (x más 1)
- (x menos uno) en el grado dos dividir por (x más uno)
- (x-1)2/(x+1)
- x-12/x+1
- (x-1)²/(x+1)
- (x-1) en el grado 2/(x+1)
- x-1^2/x+1
- (x-1)^2 dividir por (x+1)
-
Expresiones semejantes
- (x-1)^2/(x-1)
- (x+1)^2/(x+1)
Gráfico de la función y = (x-1)^2/(x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
2
(x - 1)
f(x) = --------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}$$
f = (x - 1)^2/(x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.00000089799898$$
$$x_{2} = 1.00000089843149$$
$$x_{3} = 1.00000093710485$$
$$x_{4} = 1.00000088359738$$
$$x_{5} = 1.0000009440635$$
$$x_{6} = 1.00000088601516$$
$$x_{7} = 1.00000083133699$$
$$x_{8} = 1.00000099852449$$
$$x_{9} = 1.00000089494497$$
$$x_{10} = 1.00000089657957$$
$$x_{11} = 1.00000084514158$$
$$x_{12} = 1.00000093750468$$
$$x_{13} = 1.00000087920159$$
$$x_{14} = 1.00000099205376$$
$$x_{15} = 1.00000089707442$$
$$x_{16} = 1.00000094561454$$
$$x_{17} = 1.00000089551669$$
$$x_{18} = 1.00000083883554$$
$$x_{19} = 1.00000095734289$$
$$x_{20} = 1.00000094335187$$
$$x_{21} = 1.00000089606091$$
$$x_{22} = 1.00000094646181$$
$$x_{23} = 1.00000118645665$$
$$x_{24} = 1.00000106110682$$
$$x_{25} = 1.00000094481649$$
$$x_{26} = 1.00000089962431$$
$$x_{27} = 1.00000104184443$$
$$x_{28} = 1.0000009776765$$
$$x_{29} = 1.00000089754707$$
$$x_{30} = 1.00000094030907$$
$$x_{31} = 1.00000087124481$$
$$x_{32} = 1.00000095573785$$
$$x_{33} = 1.00000097405139$$
$$x_{34} = 1.0000006613782$$
$$x_{35} = 1.00000089079948$$
$$x_{36} = 1.00000093835716$$
$$x_{37} = 1.00000095162509$$
$$x_{38} = 1.00000089884581$$
$$x_{39} = 1.00000094832346$$
$$x_{40} = 1.00000100623697$$
$$x_{41} = 1.00000056156515$$
$$x_{42} = 1.00000071750983$$
$$x_{43} = 1.0000010874752$$
$$x_{44} = 1.00000102715657$$
$$x_{45} = 1.00000086590835$$
$$x_{46} = 1.00000088996011$$
$$x_{47} = 1.00000094203972$$
$$x_{48} = 1.00000096798186$$
$$x_{49} = 1.00000093881218$$
$$x_{50} = 1.00000081109364$$
$$x_{51} = 1.00000075349689$$
$$x_{52} = 1.0000008943436$$
$$x_{53} = 1.00000085515792$$
$$x_{54} = 1.00000085051864$$
$$x_{55} = 1.00000088224669$$
$$x_{56} = 1.00000093978659$$
$$x_{57} = 1.00000094934919$$
$$x_{58} = 1.00000079696371$$
$$x_{59} = 1.0000009504471$$
$$x_{60} = 1.00000086872022$$
$$x_{61} = 1.0000010155866$$
$$x_{62} = 1.00000089999048$$
$$x_{63} = 1.00000097084243$$
$$x_{64} = 1.00000095425908$$
$$x_{65} = 1.00000093792174$$
$$x_{66} = 1.00000112577157$$
$$x_{67} = 1.0000015641596$$
$$x_{68} = 1.0000009590911$$
$$x_{69} = 1.00000094085741$$
$$x_{70} = 1.00000087747672$$
$$x_{71} = 1.00000088485011$$
$$x_{72} = 1.00000088078609$$
$$x_{73} = 1.00000093928816$$
$$x_{74} = 1.00000088906757$$
$$x_{75} = 1.00000094143357$$
$$x_{76} = 1.0000009367212$$
$$x_{77} = 1.00000089233667$$
$$x_{78} = 1.00000089159031$$
$$x_{79} = 1.00000095289224$$
$$x_{80} = 1.00000089371023$$
$$x_{81} = 1.00000096310113$$
$$x_{82} = 1.00000098180432$$
$$x_{83} = 1.00000098654723$$
$$x_{84} = 1.00000082227233$$
$$x_{85} = 1.00000094736301$$
$$x_{86} = 1.00000089304223$$
$$x_{87} = 1.00000087559197$$
$$x_{88} = 0.999999349767455$$
$$x_{89} = 1.00000086275723$$
$$x_{90} = 1.00000085920151$$
$$x_{91} = 1.00000088710143$$
$$x_{92} = 1.00000088811665$$
$$x_{93} = 1.00000096100252$$
$$x_{94} = 1.00000129727954$$
$$x_{95} = 1.00000096541585$$
$$x_{96} = 1.00000077853586$$
$$x_{97} = 1.00000094267826$$
$$x_{98} = 1.00000033353243$$
$$x_{99} = 1.00000089924307$$
$$x_{100} = 1.00000087352402$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.00000089799898$$
$$x_{2} = 1.00000089843149$$
$$x_{3} = 1.00000093710485$$
$$x_{4} = 1.00000088359738$$
$$x_{5} = 1.0000009440635$$
$$x_{6} = 1.00000088601516$$
$$x_{7} = 1.00000083133699$$
$$x_{8} = 1.00000099852449$$
$$x_{9} = 1.00000089494497$$
$$x_{10} = 1.00000089657957$$
$$x_{11} = 1.00000084514158$$
$$x_{12} = 1.00000093750468$$
$$x_{13} = 1.00000087920159$$
$$x_{14} = 1.00000099205376$$
$$x_{15} = 1.00000089707442$$
$$x_{16} = 1.00000094561454$$
$$x_{17} = 1.00000089551669$$
$$x_{18} = 1.00000083883554$$
$$x_{19} = 1.00000095734289$$
$$x_{20} = 1.00000094335187$$
$$x_{21} = 1.00000089606091$$
$$x_{22} = 1.00000094646181$$
$$x_{23} = 1.00000118645665$$
$$x_{24} = 1.00000106110682$$
$$x_{25} = 1.00000094481649$$
$$x_{26} = 1.00000089962431$$
$$x_{27} = 1.00000104184443$$
$$x_{28} = 1.0000009776765$$
$$x_{29} = 1.00000089754707$$
$$x_{30} = 1.00000094030907$$
$$x_{31} = 1.00000087124481$$
$$x_{32} = 1.00000095573785$$
$$x_{33} = 1.00000097405139$$
$$x_{34} = 1.0000006613782$$
$$x_{35} = 1.00000089079948$$
$$x_{36} = 1.00000093835716$$
$$x_{37} = 1.00000095162509$$
$$x_{38} = 1.00000089884581$$
$$x_{39} = 1.00000094832346$$
$$x_{40} = 1.00000100623697$$
$$x_{41} = 1.00000056156515$$
$$x_{42} = 1.00000071750983$$
$$x_{43} = 1.0000010874752$$
$$x_{44} = 1.00000102715657$$
$$x_{45} = 1.00000086590835$$
$$x_{46} = 1.00000088996011$$
$$x_{47} = 1.00000094203972$$
$$x_{48} = 1.00000096798186$$
$$x_{49} = 1.00000093881218$$
$$x_{50} = 1.00000081109364$$
$$x_{51} = 1.00000075349689$$
$$x_{52} = 1.0000008943436$$
$$x_{53} = 1.00000085515792$$
$$x_{54} = 1.00000085051864$$
$$x_{55} = 1.00000088224669$$
$$x_{56} = 1.00000093978659$$
$$x_{57} = 1.00000094934919$$
$$x_{58} = 1.00000079696371$$
$$x_{59} = 1.0000009504471$$
$$x_{60} = 1.00000086872022$$
$$x_{61} = 1.0000010155866$$
$$x_{62} = 1.00000089999048$$
$$x_{63} = 1.00000097084243$$
$$x_{64} = 1.00000095425908$$
$$x_{65} = 1.00000093792174$$
$$x_{66} = 1.00000112577157$$
$$x_{67} = 1.0000015641596$$
$$x_{68} = 1.0000009590911$$
$$x_{69} = 1.00000094085741$$
$$x_{70} = 1.00000087747672$$
$$x_{71} = 1.00000088485011$$
$$x_{72} = 1.00000088078609$$
$$x_{73} = 1.00000093928816$$
$$x_{74} = 1.00000088906757$$
$$x_{75} = 1.00000094143357$$
$$x_{76} = 1.0000009367212$$
$$x_{77} = 1.00000089233667$$
$$x_{78} = 1.00000089159031$$
$$x_{79} = 1.00000095289224$$
$$x_{80} = 1.00000089371023$$
$$x_{81} = 1.00000096310113$$
$$x_{82} = 1.00000098180432$$
$$x_{83} = 1.00000098654723$$
$$x_{84} = 1.00000082227233$$
$$x_{85} = 1.00000094736301$$
$$x_{86} = 1.00000089304223$$
$$x_{87} = 1.00000087559197$$
$$x_{88} = 0.999999349767455$$
$$x_{89} = 1.00000086275723$$
$$x_{90} = 1.00000085920151$$
$$x_{91} = 1.00000088710143$$
$$x_{92} = 1.00000088811665$$
$$x_{93} = 1.00000096100252$$
$$x_{94} = 1.00000129727954$$
$$x_{95} = 1.00000096541585$$
$$x_{96} = 1.00000077853586$$
$$x_{97} = 1.00000094267826$$
$$x_{98} = 1.00000033353243$$
$$x_{99} = 1.00000089924307$$
$$x_{100} = 1.00000087352402$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -8)
(1, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 1} + 1\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 1} + 1\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)^2/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{1 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{1 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico