Sr Examen

Otras calculadoras

(x-1)^2/(x+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x-1)^2/(x+1)

Gráfico de la función y = (x-1)^2/(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2
       (x - 1) 
f(x) = --------
        x + 1
f(x)=(x−1)2x+1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} 
f = (x - 1)^2/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)2x+1=0\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1.00000089799898x_{1} = 1.00000089799898
x2=1.00000089843149x_{2} = 1.00000089843149
x3=1.00000093710485x_{3} = 1.00000093710485
x4=1.00000088359738x_{4} = 1.00000088359738
x5=1.0000009440635x_{5} = 1.0000009440635
x6=1.00000088601516x_{6} = 1.00000088601516
x7=1.00000083133699x_{7} = 1.00000083133699
x8=1.00000099852449x_{8} = 1.00000099852449
x9=1.00000089494497x_{9} = 1.00000089494497
x10=1.00000089657957x_{10} = 1.00000089657957
x11=1.00000084514158x_{11} = 1.00000084514158
x12=1.00000093750468x_{12} = 1.00000093750468
x13=1.00000087920159x_{13} = 1.00000087920159
x14=1.00000099205376x_{14} = 1.00000099205376
x15=1.00000089707442x_{15} = 1.00000089707442
x16=1.00000094561454x_{16} = 1.00000094561454
x17=1.00000089551669x_{17} = 1.00000089551669
x18=1.00000083883554x_{18} = 1.00000083883554
x19=1.00000095734289x_{19} = 1.00000095734289
x20=1.00000094335187x_{20} = 1.00000094335187
x21=1.00000089606091x_{21} = 1.00000089606091
x22=1.00000094646181x_{22} = 1.00000094646181
x23=1.00000118645665x_{23} = 1.00000118645665
x24=1.00000106110682x_{24} = 1.00000106110682
x25=1.00000094481649x_{25} = 1.00000094481649
x26=1.00000089962431x_{26} = 1.00000089962431
x27=1.00000104184443x_{27} = 1.00000104184443
x28=1.0000009776765x_{28} = 1.0000009776765
x29=1.00000089754707x_{29} = 1.00000089754707
x30=1.00000094030907x_{30} = 1.00000094030907
x31=1.00000087124481x_{31} = 1.00000087124481
x32=1.00000095573785x_{32} = 1.00000095573785
x33=1.00000097405139x_{33} = 1.00000097405139
x34=1.0000006613782x_{34} = 1.0000006613782
x35=1.00000089079948x_{35} = 1.00000089079948
x36=1.00000093835716x_{36} = 1.00000093835716
x37=1.00000095162509x_{37} = 1.00000095162509
x38=1.00000089884581x_{38} = 1.00000089884581
x39=1.00000094832346x_{39} = 1.00000094832346
x40=1.00000100623697x_{40} = 1.00000100623697
x41=1.00000056156515x_{41} = 1.00000056156515
x42=1.00000071750983x_{42} = 1.00000071750983
x43=1.0000010874752x_{43} = 1.0000010874752
x44=1.00000102715657x_{44} = 1.00000102715657
x45=1.00000086590835x_{45} = 1.00000086590835
x46=1.00000088996011x_{46} = 1.00000088996011
x47=1.00000094203972x_{47} = 1.00000094203972
x48=1.00000096798186x_{48} = 1.00000096798186
x49=1.00000093881218x_{49} = 1.00000093881218
x50=1.00000081109364x_{50} = 1.00000081109364
x51=1.00000075349689x_{51} = 1.00000075349689
x52=1.0000008943436x_{52} = 1.0000008943436
x53=1.00000085515792x_{53} = 1.00000085515792
x54=1.00000085051864x_{54} = 1.00000085051864
x55=1.00000088224669x_{55} = 1.00000088224669
x56=1.00000093978659x_{56} = 1.00000093978659
x57=1.00000094934919x_{57} = 1.00000094934919
x58=1.00000079696371x_{58} = 1.00000079696371
x59=1.0000009504471x_{59} = 1.0000009504471
x60=1.00000086872022x_{60} = 1.00000086872022
x61=1.0000010155866x_{61} = 1.0000010155866
x62=1.00000089999048x_{62} = 1.00000089999048
x63=1.00000097084243x_{63} = 1.00000097084243
x64=1.00000095425908x_{64} = 1.00000095425908
x65=1.00000093792174x_{65} = 1.00000093792174
x66=1.00000112577157x_{66} = 1.00000112577157
x67=1.0000015641596x_{67} = 1.0000015641596
x68=1.0000009590911x_{68} = 1.0000009590911
x69=1.00000094085741x_{69} = 1.00000094085741
x70=1.00000087747672x_{70} = 1.00000087747672
x71=1.00000088485011x_{71} = 1.00000088485011
x72=1.00000088078609x_{72} = 1.00000088078609
x73=1.00000093928816x_{73} = 1.00000093928816
x74=1.00000088906757x_{74} = 1.00000088906757
x75=1.00000094143357x_{75} = 1.00000094143357
x76=1.0000009367212x_{76} = 1.0000009367212
x77=1.00000089233667x_{77} = 1.00000089233667
x78=1.00000089159031x_{78} = 1.00000089159031
x79=1.00000095289224x_{79} = 1.00000095289224
x80=1.00000089371023x_{80} = 1.00000089371023
x81=1.00000096310113x_{81} = 1.00000096310113
x82=1.00000098180432x_{82} = 1.00000098180432
x83=1.00000098654723x_{83} = 1.00000098654723
x84=1.00000082227233x_{84} = 1.00000082227233
x85=1.00000094736301x_{85} = 1.00000094736301
x86=1.00000089304223x_{86} = 1.00000089304223
x87=1.00000087559197x_{87} = 1.00000087559197
x88=0.999999349767455x_{88} = 0.999999349767455
x89=1.00000086275723x_{89} = 1.00000086275723
x90=1.00000085920151x_{90} = 1.00000085920151
x91=1.00000088710143x_{91} = 1.00000088710143
x92=1.00000088811665x_{92} = 1.00000088811665
x93=1.00000096100252x_{93} = 1.00000096100252
x94=1.00000129727954x_{94} = 1.00000129727954
x95=1.00000096541585x_{95} = 1.00000096541585
x96=1.00000077853586x_{96} = 1.00000077853586
x97=1.00000094267826x_{97} = 1.00000094267826
x98=1.00000033353243x_{98} = 1.00000033353243
x99=1.00000089924307x_{99} = 1.00000089924307
x100=1.00000087352402x_{100} = 1.00000087352402
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1)^2/(x + 1).
(−1)21\frac{\left(-1\right)^{2}}{1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x−1)2(x+1)2+2x−2x+1=0- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -8)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[1,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,1]\left[-3, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((x−1)2(x+1)2−2(x−1)x+1+1)x+1=0\frac{2 \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 1} + 1\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)2x+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)2x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)^2/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)2x(x+1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x−1)2x(x+1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)2x+1=(−x−1)21−x\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{1 - x}
- No
(x−1)2x+1=−(−x−1)21−x\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-1)^2/(x+1)
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