Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x^2)-3)/(4(x-1))

Gráfico de la función y = ((x^2)-3)/(4(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2     
         x  - 3 
f(x) = ---------
       4*(x - 1)
f(x)=x2−34(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)} 
f = (x^2 - 3)/((4*(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−34(x−1)=0\frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
x2=3x_{2} = \sqrt{3}
Solución numérica
x1=1.73205080756888x_{1} = 1.73205080756888
x2=−1.73205080756888x_{2} = -1.73205080756888
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 3)/((4*(x - 1))).
−3+02(−1)4\frac{-3 + 0^{2}}{\left(-1\right) 4}
Resultado:
f(0)=34f{\left(0 \right)} = \frac{3}{4}
Punto:
(0, 3/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x14(x−1)−x2−34(x−1)2=02 x \frac{1}{4 \left(x - 1\right)} - \frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−xx−1+12+x2−32(x−1)2x−1=0\frac{- \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{2} + \frac{x^{2} - 3}{2 \left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−34(x−1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−34(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 3)/((4*(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(14(x−1)(x2−3)x)=14\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} \left(x^{2} - 3\right)}{x}\right) = \frac{1}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x4y = \frac{x}{4}
lim⁡x→∞(14(x−1)(x2−3)x)=14\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{4 \left(x - 1\right)} \left(x^{2} - 3\right)}{x}\right) = \frac{1}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x4y = \frac{x}{4}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−34(x−1)=x2−3−4x−4\frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)} = \frac{x^{2} - 3}{- 4 x - 4}
- No
x2−34(x−1)=−x2−3−4x−4\frac{x^{2} - 3}{4 \left(x - 1\right)} = - \frac{x^{2} - 3}{- 4 x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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