Sr Examen

Gráfico de la función y = сtg(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = cot(x)
f(x)=cot(x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}
f = cot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot(x)=0\cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=26.7035375555132x_{1} = 26.7035375555132
x2=64.4026493985908x_{2} = 64.4026493985908
x3=17.2787595947439x_{3} = 17.2787595947439
x4=80.1106126665397x_{4} = 80.1106126665397
x5=48.6946861306418x_{5} = -48.6946861306418
x6=23.5619449019235x_{6} = 23.5619449019235
x7=39.2699081698724x_{7} = -39.2699081698724
x8=86.3937979737193x_{8} = -86.3937979737193
x9=98.9601685880785x_{9} = -98.9601685880785
x10=36.1283155162826x_{10} = 36.1283155162826
x11=51.8362787842316x_{11} = -51.8362787842316
x12=45.553093477052x_{12} = -45.553093477052
x13=73.8274273593601x_{13} = -73.8274273593601
x14=10.9955742875643x_{14} = -10.9955742875643
x15=14.1371669411541x_{15} = 14.1371669411541
x16=4.71238898038469x_{16} = -4.71238898038469
x17=14.1371669411541x_{17} = -14.1371669411541
x18=42.4115008234622x_{18} = -42.4115008234622
x19=17.2787595947439x_{19} = -17.2787595947439
x20=51.8362787842316x_{20} = 51.8362787842316
x21=29.845130209103x_{21} = -29.845130209103
x22=70.6858347057703x_{22} = 70.6858347057703
x23=95.8185759344887x_{23} = -95.8185759344887
x24=92.6769832808989x_{24} = 92.6769832808989
x25=67.5442420521806x_{25} = 67.5442420521806
x26=61.261056745001x_{26} = 61.261056745001
x27=76.9690200129499x_{27} = -76.9690200129499
x28=10.9955742875643x_{28} = 10.9955742875643
x29=70.6858347057703x_{29} = -70.6858347057703
x30=58.1194640914112x_{30} = 58.1194640914112
x31=83.2522053201295x_{31} = -83.2522053201295
x32=7.85398163397448x_{32} = -7.85398163397448
x33=39.2699081698724x_{33} = 39.2699081698724
x34=54.9778714378214x_{34} = 54.9778714378214
x35=73.8274273593601x_{35} = 73.8274273593601
x36=80.1106126665397x_{36} = -80.1106126665397
x37=26.7035375555132x_{37} = -26.7035375555132
x38=7.85398163397448x_{38} = 7.85398163397448
x39=29.845130209103x_{39} = 29.845130209103
x40=58.1194640914112x_{40} = -58.1194640914112
x41=48.6946861306418x_{41} = 48.6946861306418
x42=76.9690200129499x_{42} = 76.9690200129499
x43=67.5442420521806x_{43} = -67.5442420521806
x44=83.2522053201295x_{44} = 83.2522053201295
x45=95.8185759344887x_{45} = 95.8185759344887
x46=20.4203522483337x_{46} = 20.4203522483337
x47=32.9867228626928x_{47} = 32.9867228626928
x48=42.4115008234622x_{48} = 42.4115008234622
x49=89.5353906273091x_{49} = 89.5353906273091
x50=86.3937979737193x_{50} = 86.3937979737193
x51=54.9778714378214x_{51} = -54.9778714378214
x52=92.6769832808989x_{52} = -92.6769832808989
x53=36.1283155162826x_{53} = -36.1283155162826
x54=1.5707963267949x_{54} = -1.5707963267949
x55=23.5619449019235x_{55} = -23.5619449019235
x56=64.4026493985908x_{56} = -64.4026493985908
x57=4.71238898038469x_{57} = 4.71238898038469
x58=20.4203522483337x_{58} = -20.4203522483337
x59=1.5707963267949x_{59} = 1.5707963267949
x60=45.553093477052x_{60} = 45.553093477052
x61=98.9601685880785x_{61} = 98.9601685880785
x62=32.9867228626928x_{62} = -32.9867228626928
x63=61.261056745001x_{63} = -61.261056745001
x64=89.5353906273091x_{64} = -89.5353906273091
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x).
cot(0)\cot{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cot2(x)1=0- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cot2(x)+1)cot(x)=02 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[π2,)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxcot(x)=cot()\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(x \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=cot()y = - \cot{\left(\infty \right)}
limxcot(x)=cot()\lim_{x \to \infty} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot()y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlimx(cot(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlimx(cot(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot(x)=cot(x)\cot{\left(x \right)} = - \cot{\left(x \right)}
- No
cot(x)=cot(x)\cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = сtg(x)