Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x^2-2x-3)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x^2-2x-3)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _________________
          /               2 
       3 /  / 2          \  
f(x) = \/   \x  - 2*x - 3/
f(x)=((x2−2x)−3)23f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} 
f = ((x^2 - 2*x - 3)^2)^(1/3)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x2−2x)−3)23=0\sqrt[3]{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x^2 - 2*x - 3)^2)^(1/3).
(−3+(02−0))23\sqrt[3]{\left(-3 + \left(0^{2} - 0\right)\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=323f{\left(0 \right)} = 3^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, 3^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4x−4)∣−x2+2x+3∣233((x2−2x)−3)=0\frac{\left(4 x - 4\right) \left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{3 \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
      3 ___ 
(1, 2*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(4(x−1)2sign⁡(−x2+2x+3)∣−x2+2x+3∣3−6(x−1)2∣−x2+2x+3∣23−x2+2x+3−3∣−x2+2x+3∣23)9(−x2+2x+3)=0\frac{4 \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2} \operatorname{sign}{\left(- x^{2} + 2 x + 3 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|}} - \frac{6 \left(x - 1\right)^{2} \left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{- x^{2} + 2 x + 3} - 3 \left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}\right)}{9 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4.46410161513775x_{1} = 4.46410161513775
x2=−2.46410161513775x_{2} = -2.46410161513775

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2.46410161513775]∪[4.46410161513775,∞)\left(-\infty, -2.46410161513775\right] \cup \left[4.46410161513775, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2.46410161513775,4.46410161513775]\left[-2.46410161513775, 4.46410161513775\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−3)23=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2x)−3)23=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2 - 2*x - 3)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣−x2+2x+3∣23x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣−x2+2x+3∣23x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x2−2x)−3)23=∣x2+2x−3∣23\sqrt[3]{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = \left|{x^{2} + 2 x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
((x2−2x)−3)23=−∣x2+2x−3∣23\sqrt[3]{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = - \left|{x^{2} + 2 x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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