Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\left(3 x + 2\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x + 1} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}} + \frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{x + 1} - \frac{3 \left(3 x + 2\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{\frac{5}{3}}} + \frac{6 \left(3 x + 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{6 \left(3 x + 2\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}}{9 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20641.8666929884$$
$$x_{2} = 33356.3658464829$$
$$x_{3} = 11317.2765381872$$
$$x_{4} = 13012.7574308897$$
$$x_{5} = 7078.00040607479$$
$$x_{6} = 25727.7180959466$$
$$x_{7} = 8773.85697262601$$
$$x_{8} = 24880.0826209975$$
$$x_{9} = 17251.2249054703$$
$$x_{10} = 35899.2286112093$$
$$x_{11} = 12165.0265047884$$
$$x_{12} = 38442.0847471867$$
$$x_{13} = 36746.8479917033$$
$$x_{14} = 19794.2134810241$$
$$x_{15} = 35051.6084974811$$
$$x_{16} = 40984.9354893666$$
$$x_{17} = 32508.7431826851$$
$$x_{18} = 27422.9832444717$$
$$x_{19} = 37594.4666886084$$
$$x_{20} = 23184.8048075209$$
$$x_{21} = 6229.9390630946$$
$$x_{22} = 16403.5499022853$$
$$x_{23} = 22337.1619472088$$
$$x_{24} = 26575.3515753384$$
$$x_{25} = 24032.4449390088$$
$$x_{26} = 10469.5028895738$$
$$x_{27} = 18098.8932663536$$
$$x_{28} = 41832.5513749648$$
$$x_{29} = 14708.1753636241$$
$$x_{30} = 21489.5160345991$$
$$x_{31} = 28270.6132663924$$
$$x_{32} = 29118.2417851368$$
$$x_{33} = 30813.4948099009$$
$$x_{34} = 29965.8689284237$$
$$x_{35} = 40137.3191112769$$
$$x_{36} = 9621.69927526726$$
$$x_{37} = 18946.5558782137$$
$$x_{38} = 13860.4728194059$$
$$x_{39} = 42680.1667974398$$
$$x_{40} = 34203.9875959473$$
$$x_{41} = 31661.1195310318$$
$$x_{42} = 39289.7022087908$$
$$x_{43} = 7925.96350941029$$
$$x_{44} = 15555.8671683433$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[40984.9354893666, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 13012.7574308897\right]$$