Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-10x+10)e^5-x

Gráfico de la función y = (x^2-10x+10)e^5-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       / 2            \  5    
f(x) = \x  - 10*x + 10/*E  - x
f(x)=−x+e5((x2−10x)+10)f{\left(x \right)} = - x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) 
f = -x + E^5*(x^2 - 10*x + 10)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+e5((x2−10x)+10)=0- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1+1+20e5+60e10+10e52e5x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 20 e^{5} + 60 e^{10}} + 10 e^{5}}{2 e^{5}}
x2=−1+20e5+60e10+1+10e52e5x_{2} = \frac{- \sqrt{1 + 20 e^{5} + 60 e^{10}} + 1 + 10 e^{5}}{2 e^{5}}
Solución numérica
x1=1.12603727696159x_{1} = 1.12603727696159
x2=8.88070067003749x_{2} = 8.88070067003749
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 10*x + 10)*E^5 - x.
−0+e5((02−0)+10)- 0 + e^{5} \left(\left(0^{2} - 0\right) + 10\right)
Resultado:
f(0)=10e5f{\left(0 \right)} = 10 e^{5}
Punto:
(0, 10*exp(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x−10)e5−1=0\left(2 x - 10\right) e^{5} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12e5+5x_{1} = \frac{1}{2 e^{5}} + 5
Signos de extremos en los puntos:
                     /               2        \    
      -5        -5   |      /     -5\         |    
     e         e     |      |    e  |       -5|  5 
(5 + ---, -5 - --- + |-40 + |5 + ---|  - 5*e  |*e )
      2         2    \      \     2 /         /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12e5+5x_{1} = \frac{1}{2 e^{5}} + 5
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12e5+5,∞)\left[\frac{1}{2 e^{5}} + 5, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,12e5+5]\left(-\infty, \frac{1}{2 e^{5}} + 5\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2e5=02 e^{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+e5((x2−10x)+10))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+e5((x2−10x)+10))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 10*x + 10)*E^5 - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+e5((x2−10x)+10)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+e5((x2−10x)+10)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+e5((x2−10x)+10)=x+(x2+10x+10)e5- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) = x + \left(x^{2} + 10 x + 10\right) e^{5}
- No
−x+e5((x2−10x)+10)=−x−(x2+10x+10)e5- x + e^{5} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) = - x - \left(x^{2} + 10 x + 10\right) e^{5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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