Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 3 x^{2} - 4 x + 11 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
2 \/ 37 14 | 2 \/ 37 | | 2 \/ 37 | 11*\/ 37
(- - + ------, -- - |- - + ------| - 2*|- - + ------| + ---------)
3 3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / 3
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
2 \/ 37 14 | 2 \/ 37 | | 2 \/ 37 | 11*\/ 37
(- - - ------, -- - |- - - ------| - 2*|- - - ------| - ---------)
3 3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}, \infty\right)$$