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-x^3-2x^2+11x+12
Trazado el gráfico de la función/ -x^3-2x^2+11x+12

Gráfico de la función y = -x^3-2x^2+11x+12

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2            
f(x) = - x  - 2*x  + 11*x + 12
f(x)=(11x+(−x3−2x2))+12f{\left(x \right)} = \left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12 
f = 11*x - x^3 - 2*x^2 + 12
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(11x+(−x3−2x2))+12=0\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4x_{1} = -4
x2=−1x_{2} = -1
x3=3x_{3} = 3
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−4x_{2} = -4
x3=3x_{3} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3 - 2*x^2 + 11*x + 12.
((−03−2⋅02)+0⋅11)+12\left(\left(- 0^{3} - 2 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 11\right) + 12
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = 12
Punto:
(0, 12)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2−4x+11=0- 3 x^{2} - 4 x + 11 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23+373x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}
x2=−373−23x_{2} = - \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                  3                   2             
         ____       /        ____\      /        ____\         ____ 
   2   \/ 37   14   |  2   \/ 37 |      |  2   \/ 37 |    11*\/ 37  
(- - + ------, -- - |- - + ------|  - 2*|- - + ------|  + ---------)
   3     3     3    \  3     3   /      \  3     3   /        3     

                                  3                   2             
         ____       /        ____\      /        ____\         ____ 
   2   \/ 37   14   |  2   \/ 37 |      |  2   \/ 37 |    11*\/ 37  
(- - - ------, -- - |- - - ------|  - 2*|- - - ------|  - ---------)
   3     3     3    \  3     3   /      \  3     3   /        3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−373−23x_{1} = - \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−23+373x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}
Decrece en los intervalos
[−373−23,−23+373]\left[- \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−373−23]∪[−23+373,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{37}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{37}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(3x+2)=0- 2 \left(3 x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((11x+(−x3−2x2))+12)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((11x+(−x3−2x2))+12)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3 - 2*x^2 + 11*x + 12, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((11x+(−x3−2x2))+12x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((11x+(−x3−2x2))+12x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(11x+(−x3−2x2))+12=x3−2x2−11x+12\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12 = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12
- No
(11x+(−x3−2x2))+12=−x3+2x2+11x−12\left(11 x + \left(- x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 12 = - x^{3} + 2 x^{2} + 11 x - 12
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^3-2x^2+11x+12
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