Sr Examen

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x^4-2x^2-3
  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^4-2x^2-3 x^4-2x^2-3
  • 3x^3-9x 3x^3-9x
  • y=x^2-7x-8 y=x^2-7x-8
  • y=log1/5x y=log1/5x
  • Expresiones idénticas

  • x^ cuatro - dos x^2- tres
  • x en el grado 4 menos 2x al cuadrado menos 3
  • x en el grado cuatro menos dos x al cuadrado menos tres
  • x4-2x2-3
  • x⁴-2x²-3
  • x en el grado 4-2x en el grado 2-3
  • Expresiones semejantes

  • x^4-2x^2+3
  • x^4+2x^2-3

Gráfico de la función y = x^4-2x^2-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        4      2    
f(x) = x  - 2*x  - 3
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3$$
f = x^4 - 2*x^2 - 3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.73205080756888$$
$$x_{2} = -1.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 2*x^2 - 3.
$$-3 + \left(0^{4} - 2 \cdot 0^{2}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -3$$
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 4 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -4)

(0, -3)

(1, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 2*x^2 - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3 = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3$$
- Sí
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 3 = \left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 3$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-2x^2-3