Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/((sqrt(x)+3)^3)

Gráfico de la función y = 1/((sqrt(x)+3)^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1      
f(x) = ------------
                  3
       /  ___    \ 
       \\/ x  + 3/
f(x)=1(x+3)3f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} 
f = 1/((sqrt(x) + 3)^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.0000.050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(x+3)3=0\frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/((sqrt(x) + 3)^3).
1(0+3)3\frac{1}{\left(\sqrt{0} + 3\right)^{3}}
Resultado:
f(0)=127f{\left(0 \right)} = \frac{1}{27}
Punto:
(0, 1/27)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−32x(x+3)(x+3)3=0- \frac{3}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 3\right) \left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(1x(x+3)+14x32)(x+3)4=0\frac{3 \left(\frac{1}{x \left(\sqrt{x} + 3\right)} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1(x+3)3=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1(x+3)3=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/((sqrt(x) + 3)^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x+3)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x+3)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(x+3)3=1(−x+3)3\frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} = \frac{1}{\left(\sqrt{- x} + 3\right)^{3}}
- No
1(x+3)3=−1(−x+3)3\frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(\sqrt{- x} + 3\right)^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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