Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^3*sqrt(x+1)

Gráfico de la función y = x^3*sqrt(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3   _______
f(x) = x *\/ x + 1
$$f{\left(x \right)} = x^{3} \sqrt{x + 1}$$ 
f = x^3*sqrt(x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{3} \sqrt{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*sqrt(x + 1).
$$0^{3} \sqrt{1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3}}{2 \sqrt{x + 1}} + 3 x^{2} \sqrt{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{6}{7}$$
$$x_{2} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
              ___ 
       -216*\/ 7  
(-6/7, ----------)
          2401    

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{6}{7}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{6}{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6}{7}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x \left(- \frac{x^{2}}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x}{\sqrt{x + 1}} + 6 \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{6}{7} - \frac{2 \sqrt{15}}{35}$$
$$x_{3} = - \frac{6}{7} + \frac{2 \sqrt{15}}{35}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6}{7} + \frac{2 \sqrt{15}}{35}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{6}{7} + \frac{2 \sqrt{15}}{35}, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \sqrt{x + 1}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*sqrt(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{x + 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{3} \sqrt{x + 1} = - x^{3} \sqrt{1 - x}$$
- No
$$x^{3} \sqrt{x + 1} = x^{3} \sqrt{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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