Sr Examen

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x/e^x
Trazado el gráfico de la función/ x/e^x

Gráfico de la función y = x/e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x 
f(x) = --
        x
       E
f(x)=xexf{\left(x \right)} = \frac{x}{e^{x}} 
f = x/E^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-400000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex=0\frac{x}{e^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=103.412938828373x_{1} = 103.412938828373
x2=34.2454094695441x_{2} = 34.2454094695441
x3=81.4872456640903x_{3} = 81.4872456640903
x4=85.4703620749206x_{4} = 85.4703620749206
x5=32.3772961851972x_{5} = 32.3772961851972
x6=38.0568716419232x_{6} = 38.0568716419232
x7=55.67586733869x_{7} = 55.67586733869
x8=101.418161552262x_{8} = 101.418161552262
x9=79.496455118891x_{9} = 79.496455118891
x10=53.7006804984823x_{10} = 53.7006804984823
x11=105.407942520376x_{11} = 105.407942520376
x12=117.381987933686x_{12} = 117.381987933686
x13=107.40315817241x_{13} = 107.40315817241
x14=73.5277731870455x_{14} = 73.5277731870455
x15=115.385891060967x_{15} = 115.385891060967
x16=113.389949729147x_{16} = 113.389949729147
x17=47.7931569932505x_{17} = 47.7931569932505
x18=93.4416565533312x_{18} = 93.4416565533312
x19=45.8319875396224x_{19} = 45.8319875396224
x20=67.5660769899711x_{20} = 67.5660769899711
x21=75.5166588459953x_{21} = 75.5166588459953
x22=119.378231552779x_{22} = 119.378231552779
x23=69.5523925194344x_{23} = 69.5523925194344
x24=109.398572537176x_{24} = 109.398572537176
x25=39.9866376954424x_{25} = 39.9866376954424
x26=89.4552548670559x_{26} = 89.4552548670559
x27=0x_{27} = 0
x28=57.6533514231885x_{28} = 57.6533514231885
x29=87.4626045093137x_{29} = 87.4626045093137
x30=43.8762545098096x_{30} = 43.8762545098096
x31=83.4785626915261x_{31} = 83.4785626915261
x32=77.5062407712727x_{32} = 77.5062407712727
x33=65.580821222158x_{33} = 65.580821222158
x34=49.758798960419x_{34} = 49.758798960419
x35=97.429350983852x_{35} = 97.429350983852
x36=95.4353540260187x_{36} = 95.4353540260187
x37=61.614029218278x_{37} = 61.614029218278
x38=41.9272307499711x_{38} = 41.9272307499711
x39=63.5967547129854x_{39} = 63.5967547129854
x40=91.4482816547886x_{40} = 91.4482816547886
x41=71.5396566043977x_{41} = 71.5396566043977
x42=51.7281686335153x_{42} = 51.7281686335153
x43=59.6328238138969x_{43} = 59.6328238138969
x44=36.1413894508705x_{44} = 36.1413894508705
x45=121.374613775997x_{45} = 121.374613775997
x46=99.4236264980399x_{46} = 99.4236264980399
x47=111.394173451874x_{47} = 111.394173451874
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/E^x.
0e0\frac{0}{e^{0}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xe−x+1ex=0- x e^{- x} + \frac{1}{e^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
     -1 
(1, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−2)e−x=0\left(x - 2\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xex)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{e^{x}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xex)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{e^{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e−x=∞\lim_{x \to -\infty} e^{- x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞e−x=0\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex=−xex\frac{x}{e^{x}} = - x e^{x}
- No
xex=xex\frac{x}{e^{x}} = x e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/e^x
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