Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2*x-1)*e^(2*(1-x))
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
Expresiones idénticas
- |(|x|- dos)^(dos)- tres |
- módulo de (|x| menos 2) en el grado (2) menos 3|
- módulo de (|x| menos dos) en el grado (dos) menos tres |
- |(|x|-2)(2)-3|
- ||x|-22-3|
- ||x|-2^2-3|
-
Expresiones semejantes
- |(|x|+2)^(2)-3|
- |(|x|-2)^(2)+3|
Gráfico de la función y = |(|x|-2)^(2)-3|
Solución
Ha introducido
[src]
| 2 | f(x) = |(|x| - 2) - 3|
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|$$
f = Abs((|x| - 2)^2 - 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.73205080756888$$
$$x_{2} = -3.73205080756888$$
$$x_{3} = -0.267949192431123$$
$$x_{4} = 0.267949192431123$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.73205080756888$$
$$x_{2} = -3.73205080756888$$
$$x_{3} = -0.267949192431123$$
$$x_{4} = 0.267949192431123$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \left(\left|{x}\right| - 2\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \left(\left|{x}\right| - 2\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 3)
(2, 3)
(0, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(4 \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} \delta\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\left|{x}\right| - 2\right) \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3 \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(4 \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} \delta\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\left|{x}\right| - 2\right) \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3 \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((|x| - 2)^2 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|$$
- Sí
$$\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = - \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|$$
- Sí
$$\left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right| = - \left|{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 3}\right|$$
- No
es decir, función
es
par